数Iの範囲で式と計算の問題

相異なる数a,b,cが、a^3-2a^2=b^3-2b^2=c^3-2c^2 を満たすとき、a+b+cの値を求めよ。
という問題があり、数IIの三次方程式の解と係数の関係を使えば２と瞬殺できるのですが、数Iの範囲で解かなければならず困っています。
どなたか回答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/11/23 03:26

(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)

=(a+b+c)(a^2c-a^2b+ab^2-ac^2-b^2c+bc^2)
=a^3c-a^3b+ab^3-b^3c+bc^3-ac^3
=a(b^3-c^3)+b(c^3-a^3)+c(a^3-b^3)
=a(2b^2-2c^2)+b(2c^2-2a^2)+c(2a^2-2b^2)
=2(a-b)(b-c)(c-a)

a,b,cは相異なる数だから、a+b+c=2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
その因数分解には気付きませんでした。
スッキリ解決しました。

お礼日時：2010/11/23 18:46

No.3 回答者： noname#157574 回答日時： 2010/11/23 08:03

　3次方程式の解と係数の関係は、数学Iは言うまでもなく、数学IIでも学習指導要領の範囲外です。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。
確かに一部の数IIの教科書、参考書には書いてありますが、学習指導要領の範囲外みたいですね。

お礼日時：2010/11/23 18:49

No.2 回答者： hugen 回答日時： 2010/11/23 06:12

a^3-2a^2=b^3-2b^2 　から　a^2+ab+b^2-2(a+b)=0

b^3-2b^2=c^3-2c^2 から　b^2+bc+c^2-2(b+c)=0(-
a^2+ab-bc-c^2-2(a-c)=0
(a-c)(a+c)+b(a-c)-2(a-c)=0

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
このやり方もありですね。

お礼日時：2010/11/23 18:47