直交行列とノルムについて

n次元Euclid空間のベクトルxと任意の直交行列Aに対して，

y≠Ax ⇒ |y|≠|Ax|　（|x|はEuclidノルム）

は直接示せますか？

一般的に「x≠y⇒|x|≠|y|」は言えませんが，ここではAが直交行列で大きさを変えない変換ということから|y|≠|Ax|と言ってしまったのですがこれは言えないのでしょうか？

どんな直交行列を持ってきてもy≠Axとなるということは大きさが異なるということではないのですか？

よろしくお願いします．

No.2 ベストアンサー 回答者： ramayana 回答日時： 2011/01/20 22:35

ご質問の最初の６行がよく分かりませんが、「どんな直交行列を持ってきてもy≠Axとなるということは大きさが異なるということではないのですか」の部分に限れば、正しいと思います。

要は、「|y|=|x|なら、ある直交行列Aがあってy=Ax」を言えばいいわけですが、スケルトンだけを示します。

１　一般性を失わず、x=t(1,0,...,0)の場合を示せば十分（tは転置行列）

２　|y|=1だとすると、適当に残りn-1個のベクトルz2,z3,...,znを選んで、y,z2,z3,...,znがR^nの正規直交基底となるようにすることができる。

３　y,z2,z3,...,znを列ベクトルとする行列をAとすると、Aは直交行列であって、y=Ax。

No.3 回答者： multipul 回答日時： 2011/01/23 04:31

対偶　|y|=|Ax| ⇒ y=Ax

に反例があれば提示された命題は成り立たないことになります。
逆　|y|≠|Ax| ⇒ y≠Ax　は成り立ちます。

No.1 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/01/20 21:32

そもそも，

「任意の直交行列Aに対して y≠Ax ⇒ |y|≠|Ax|」は
成り立ちません．

反例：

x = t(1 0) (tは転置を表す)．
A = (0 -1; 1 0) (1行目が(0 -1)，2行目が(1 0)の行列)
y = t(1 0)

とすると，

Ax = t(0 1) ≠ t(1 0) = y

であるが，

|Ax| = |y| = 1.