「 1辺の長さが5cmのひし形ABCDがあり、対角線BD=8cmである。辺ABを1辺とする正三角形EBAをつくる。さらに、点Pを線分BD上にとって、PAを1辺とする正三角形QPAをつくり、点EとQ、点PとCを直線で結ぶ。ただし、点Pは、点B、Dとは異なる位置にあり、点Qは直線PAについて点Eと同じ側にあるものとする。点Pを、EQ+QP+PCの長さが最小になるようにとるとき、EQ+QP+PCの長さを求めよ。 」
答えは 4+3√3 とわかっていますが、なぜそうなるのかが解りません。
下手な図で済みませんが、点Pは線分BD上にあります。
No.3
- 回答日時:
点Qは、点Pを「点Aを中心に60°右回転」した位置にあります。
つまり、点Pが直線BD上を移動したときの点Qの軌跡は、直線BDを「点Aを中心に60°右回転」した直線です。
また、直線BD上の点Dの右側に、AF=6となる点Fをとると、AC=AF=CF=6より△AFCは正三角形です。
P=BとすればQ=E、P=FとすればQ=Cとなるので、点Qの軌跡は、直線EC上にあることが分かります。
点Pを直線BDと直線ECの交点にすると、点E,Q,P,Cが一直線上になり、そのときEQ+QP+PCが最小になります。
BDの中点をGとすれば、
EQ+QP+PC=EC=BF=BG+GF=4+3√3
さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので(容体は回復)、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたNO7まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので(親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと)、NO7さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。
No.2
- 回答日時:
No.1さん、教えて下さい。
面白そうなので私も挑戦してみました。
>EQ+QP+PCが最小になるのはEQCが一直線になる時です
ECの長さを求めればいいわけです
私は点E、Q、P、Cが同じ直線上にあるとき・・(1)と考えましたが、点Pはこの直線上に
なくともよいということでしょうか。
(1)のとき、
線分ECとBDの交点をPとして、AP=AQとなる点をEC上にとりましたが、
⊿QPAが正三角形であることを示せず、ここでダウンしました。
これがクリアできれば、後は何とかなるのですが。
>正三角形QPAの・・・
このとき、点P,Qをどのようにとったか教えてください。
やはり、点Pの位置は関係ないのでしょうか。
ごめんなさい、暇なときにでも。
さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので(容体は回復)、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたNO7まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので(親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと)、NO7さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。
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