高校物理 第一宇宙速度とケプラーの法則

人工衛星の速度がちょうど第一宇宙速度になるように打ち上げると、等速円運動に
なり、その速度を超え、第二宇宙速度未満の速度であれば、楕円運動をするそうですが、
この楕円運動をした場合でも、ケプラーの法則が成り立っているのでしょうか。

つまり、楕円軌道の焦点の一つが地球の中心であり、面積速度はどこでも等しく、
周期の2乗が長軸の3乗に比例することが成り立つと考えてよろしいでしょうか？

また、何で楕円軌道をするのかと思ってしまうのですが、その理由は大学で物理を
学ばないとわからないことでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/04/27 03:52

こんにちは。

＞＞＞つまり、楕円軌道の焦点の一つが地球の中心であり、面積速度はどこでも等しく、

はい。そうなります。

＞＞＞周期の2乗が長軸の3乗に比例することが成り立つと考えてよろしいでしょうか？

はい。成り立ちます。

＞＞＞また、何で楕円軌道をするのかと思ってしまうのですが、その理由は大学で物理を
＞＞＞学ばないとわからないことでしょうか？

楕円軌道もそうですし、面積速度一定もそうです。
「ラグランジアン」という概念を使って計算・導出します。
（「解析力学」と言います。）
ちなみに、大学で習って驚いたのですが、面積速度一定というのは、重力が「距離の２乗に反比例」していなくても、仮に何乗に反比例したとしても成り立つんです。

しかしながら、円軌道と楕円軌道については、小中学生でも直感的にわかる説明のしかたがあります。
絵を描くと簡単ですが、文章で説明してみます。

地上に、身長が数百～数万ｋｍもある巨人が立っているとします。
巨人は水平方向にボールを投げます。
ボールのスピードが遅いと、巨人のすぐ前にぽとりと落ちます。
スピードを速くしていくと、落ちる場所がだんだん向こうになっていきます。
あるスピードでは、地球の裏側に落ちるという状況になります。
さらにさらにスピードを上げると、ボールは地球を１周して巨人の後頭部にぶつかります。
ぶつからないように、投げた後に姿勢を低くすると、ボールはいつまでも地球の周りを回ります。
これが円軌道です。
そのスピードを（大幅に）超えると、ボールはいったん地球から（大きく）離れて、そこから地球の付近に戻ってきます。
これが楕円軌道です。

彗星は太陽の周りを楕円軌道で回りますが、これは、はるか遠くにある「雪の球」が何かの拍子で太陽に向かって「落ちて」くることに由来します。
まっすぐ落ちたら太陽にぶつかりますが、多少ずれて落ちてくるので楕円軌道になります。

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました。
よくわかりました。

お礼日時：2011/04/27 04:10

No.6 回答者： cyototu 回答日時： 2011/04/28 00:06

解った、Tacosanさん、あんた物理屋じゃなくて工学屋さんだね。

物理屋ってのは桁数で勝負するから、言うことが粗っぽくなっちまう。でも、そんなんじゃ機械は作れないから、工学屋さんは細かくなくっちゃいけない。だから詳細に拘るれうようにならなくちゃ立派な工学屋さんには成れない。ナノなんてやってる物理科の先生は殆どは物理屋じゃなくって、高等工学屋さんだもんね。

あたしゃ重力ってえのを長距離力って捉えてるよ。でも、電気力は微妙だね。プラズマなんか多体効果でデバイ・シールドなんかされちまうから、実質的には短距離力になっちまう。だから、プラズマじゃ熱平衡なんちゅうのがあって温度が定義でいるんだし、ボルツマン方程式も成り立っているんだが、重力はいつまで経っても長距離力だから、そうは行かない。だから、銀河系の多体問題なんかにゃボルツマン方程式なんか無くって、だから、重力の世界には熱力学なんてのが成り立たない。だから、銀河系には渦条に飛び出した尻尾が何本かあるんだね。

また、電気力の３体問題ですべてが引力ってえわけには行かないから、小惑星も土星の輪も出来なくて、だから、２体同士の間のケプラーの第３法則が使えなくて、だから、実空間の中に縞構造の分布なんてのは古典力学の電気力じゃあ現れよう無いもんね。だからケプラーの第３法則は電気力じゃなくて重力のときにはいろいろ面白い悪戯をするよね。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2011/04/27 23:41

微分の知識は必要ですが座標変換だけで出てきます。

解析力学の枠組みでしか出来ないとなるとハードルが高いですね。

簡単のために２次元の極座標でやってみます。
（ｘ、ｙ）⇔（ｒ、θ）の変換は出てきているのではないでしょうか。
回転運動ですから極座標が便利なのです。
ｘ＝ｒｃｏｓθ
ｙ＝ｒｓｉｎθ

Ｖｘ＝ｄｘ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄｔｃｏｓθ－ｒｄθ／ｄｔｓｉｎθ
Ｖｙ＝ｄｙ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄｔｓｉｎθ＋ｒｄθ／ｄｔｃｏｓθ
Ｖｘ^2＋Ｖｙ^2＝(ｄｒ／ｄｔ)^2＋(ｒｄθ／ｄｔ)^2
これより、
Ｖr＝ｄｒ／ｄｔ
Ｖθ＝ｒｄθ／ｄｔ

Ａｘ＝ｄＶｘ／ｄｔ
Ａｙ＝ｄＶｙ／ｄｔ
を計算すると
Ａr＝ｄ^2ｒ／ｄｔ^2－ｒ(ｄθ／ｄｔ)^2
Ａθ＝２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2

運動方程式は
Ｆr＝ＭＡr
Ｆθ＝ＭＡθ
Ｆがｒに平行であればＦθ＝０です。したがってＡθ＝０です。
２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2＝０
ｒをかけます。
２ｒ(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒ^2ｄ^2θ／ｄｔ^2
＝(ｄｒ^2／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒ^2ｄ^2θ／ｄｔ^2
＝(ｄ／ｄｔ)(ｒ^2ｄθ／ｄｔ)＝０
∴（ｒ^2)ω＝一定・・・・・（ω＝ｄθ／ｄｔ）

これを　ｒ(ｒω)/2＝一定　と書くと面積速度一定の表現になります。

３次元の極座標
ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ
ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ
ｚ＝ｒｃｏｓθ

でも同じ結果が出てきます。

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2011/04/27 19:43

Ｎｏ．１の回答者です。

面積速度一定の件ですが、
大学で使った教科書が手元にあるのですが、それとまったく同じ式が全部書かれているサイトを見つけましたので、示します。
http://www39.atwiki.jp/landau/pages/30.html

「中心力」とは書いていますが、「距離の２乗に反比例する中心力」とは書いていません。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/27 16:35

ケプラーの法則は「『太陽の周りを回る』惑星の運動」から出てきたもので, いわゆる「ケプラー運動」をするものであれば円軌道だろうと楕円軌道だろうと同じことです... というか, 「ケプラーの法則」の中で「楕円運動」って言ってます.

以下は余談:
「ケプラーの 3法則」に基づいてニュートンが万有引力の法則を導いたわけだけど, 結果的には長距離力, つまり「大きさが距離の 2乗に反比例する」力であれば同じ結論になるのでは＞#2. 何が言いたいかというと「ケプラーの第３法則が重力に特有」ということではなく, 電磁気力でも同じことになるはず. もちろん「結晶内のミクロな世界の電子の運動」はケプラー運動にならないので「ケプラーの法則」が成り立たないというのは同語反復ですが.

あと, 「１６歳では、まだ大学生ではない」となぜ断定できるのだろう. ガウスは 1795～1798年まで the Collegium Carolinum にいってます.

No.2 回答者： cyototu 回答日時： 2011/04/27 15:06

別に大学で物理を学ばないと解らない事ではありません。

事実、１８世紀から１９世紀に生きたドイツのガウスと言う人が１６歳のときに『天体の運動について』と言う論文を書いて、天体の運動は円錐曲線と呼ばれる二次曲線であることを明らかし、それを論じるために、あなた方が大学受験でいじめられている２次関数に関する数学大系を完成させたのですから。その結果、天体の２体問題の運動ではケプラーの法則が円運動、楕円運動に限らず、どういう場合にでも成り立っていることが明らかになったのです。１６歳では、まだ大学生ではないので、大学生にならなくては解らない筈がありません。ましてや、２１世紀の今日の若者達の能力が１９世紀の若者よりも退化しているとは思えません。

＃１さんの指摘に関して、「周期の2乗が長軸の3乗に比例する」というケプラーの第３法則は、重力に特有な性質です。周期が長さと特別な関係にあると言うことは重力特有な性質であり、重力以外の一般的な力ではそんなことはありません。例えば、重力特有なケプラーの第３法則によると、周期の大きさの分布に帯構造が出来ると、必然的に長径方向に帯構造が出来ます。それが、土星の輪の縞模様であり、小惑星の分布の縞模様です。そんなことは結晶内のミクロな世界の電子の運動は起こりません。だから、ケプラーと第３法則は重力の特異性を捉えた本質的な法則です。