1+3+5+7+9+…=1/2

ζ(-1)=1+2+3+4+5+6+…=-1/2
において、
1+3+5+…+2(1+2+3+…)=-1/2
1+3+5+…=1/2
と形式的に出てきますが、これを意味づけることはできるのでしょうか？

また、一般の等差数列の無限和
a+(a+d)+(a+2d)+…
はどのような値になるのでしょうか?

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/07 11:30

ζ(-1)=1+2+3+4+… の時点で、既に間違い。

この式の右辺は、収束しません。

時に、「+」の意味を拡張すれば解釈可能だ…
とする説を見かけますが、それが無意味なことは、
lim[s→1] lim[n→∞] Σ[k=1…n] (k の -s 乗)
の二つの lim が交換可能かどうか、
解析学の入門書に戻って検討すれば解ります。
先に s=1 としてしまっている意義は大きく、
解釈論では挽回できません。

奇数項と偶数項に分ける話も、それを等差数列に
一般化する話も、同様です。
項の並べ替えが意味を持つのは、
級数が絶対収束する場合だけです。
それがピンとこないのであれば、条件収束について、
1-1+1-1+1-1+… の値がどうなるか
研究してみてください。
初等論理学について、P⇒Q の真偽が
P が偽のときどうなるか調べてみるのも、
参考になるかもしれません。

この回答へのお礼

正しくは、
ζ(-1)=-1/12
でした。お詫びします。
数学的には次のような問題設定にすればよいでしょうか？

数列a[n]を
n=a+(k-1)dのとき、a[n]=1
それ以外のとき、a[n]=0
と定義し、
複素数sを変数とする関数
Σ[n=1,∞]a[n]/n^s　(ただし、Re(s)>1)
を全平面に解析接続したときの、s=-1のときの値は?

お礼日時：2011/05/16 23:35

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2011/05/07 12:00

＞ζ(-1)=1+2+3+4+5+6+…=-1/2

これはそもそも「標語的」な表記にすぎないのであって
ふつうの数式と同じと扱う段階ですでにダメ．

ちまたにあふれる 0=1 と同じ論法にすぎません．

異なる描像で何か意味合いが現れる可能性は皆無とはいえませんが，
これは「未来は分からない」というのとほぼ同義でしょう．

この回答へのお礼

正しくは、
ζ(-1)=-1/12
でした。お詫びします。
数学的には次のような問題設定にすればよいでしょうか？

数列a[n]を
n=a+(k-1)dのとき、a[n]=1
それ以外のとき、a[n]=0
と定義し、
複素数sを変数とする関数
Σ[n=1,∞]a[n]/n^s　(ただし、Re(s)>1)
を全平面に解析接続したときの、s=-1のときの値は?

お礼日時：2011/05/16 23:35