極限の問題です。

実数列{an}について、 an+1=1+1/an an=1　　のとき、

{a2n+1},{a2n} がそれぞれ収束することを示し、{an}の極限値を求めよ。


という問題がよく分かりません。どなたか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/06 08:43

ほかの方からの回答がないので見当はずれかもしれませんが回答します。

a(n+1)=1+1/a(n)　　(1)

a(1)=1 (2)

このような問題には定石があって、後述のように問題なく解けます。

＞{a2n+1},{a2n} がそれぞれ収束することを示し、{an}の極限値を求めよ。

これがよくわかりません。


(1)の極限値がpであるとするとn→∞ではa(n+1)=1/a(n)=pとなるので

p=1+1/p 　　　　　(3)

これを解くと

p=(1±√5)/2　　　　

p1=(1-√5)/2, p2=(1+√5)/2 (4)

とする。

p1=1+1/p1 (5)

p2=1+1/p2　　(6)


(1)－(5)、(1)－(6)を実行すると

a(n+1)-p1=1/a(n)-1/p1=-(a(n)-p1)/(p1*a(n)) (7)

a(n+1)-p2=1/a(n)-1/p2=-(a(n)-p2)/(p2*a(n)) (8)

(7)/(8)を作ると

[a(n+1)-p1]/[a(n+1)-p2]=(p2/p1)[a(n)-p1]/[a(n)-p2]

=(p2/p1)^n[a(1)-p1]/[a(1)-p2]

=q (9)

とおいてa(n+1)を計算すると

a(n+1)=(p1-qp2)/(1-q) 　　　　　　　　　　　　　　(10)

(2)より

a(1)=1,(4)を代入してqを計算すると

q=[(1+√5)/(1-√5)]^(n+1)

(10)より

a(n+1)=(p1-qp2)/(1-q)=(p2-p1/q)/(1-1/q)

このようにしたのは|q|>1であるので|1/q|<1にしてn→∞のとき|1/q|→0を狙ったためである。

a(n+1)={(1+√5)/2-(1-√5)/2)*[(1+√5)/(1-√5)]^(n+1)}/{1-[(1+√5)/(1-√5)]^(n+1)}

a(n)={(1+√5)/2-(1-√5)/2)*[(1+√5)/(1-√5)]^n}/{1-[(1+√5)/(1-√5)]^n}

lim[n→∞]a(n)=(1+√5)/2

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/05 15:41

>an+1=1+1/an an=1　　のとき、

意味不明

この回答への補足

an+1 = 1 + 1/an a1 = 1

です。申し訳ありません。
a1をanにしておりました。

補足日時：2014/05/05 16:49

この回答へのお礼

an+1 = 1 + 1/an
a1 = 1

さらに補足に補足なんですが、
二つの定義式になってます。
分かりにくくてごめんなさい

お礼日時：2014/05/05 16:52