limAnBn=AlimBn の証明

{An}(n≧1)は収束列で、limAn(n→∞)=A≧0とし,{Bn}(n≧1)は有界数列とする。そのとき、
lim(n→∞)AnBn=A×limBn(n→∞)
となることを証明せよ。

という問題が分かりません。
Bnが　limBn(n→∞)=B≧0　の収束列の時に
lim(n→∞)AnBn=AB　
となるのは分かるのですが……。

ヒントや指針だけでもいいので、どなたか回答お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： orcus0930 回答日時： 2009/07/18 04:13

大学生ですか?　高校生ですか?

有界って言葉を使っているから、大学生かな?

だったら、ちゃんとε-δ論法を使って証明しましょう。
A=0の時も、別にAn=0ではないので、自明というのは危険でしょう。

Bnが収束しないというのは、±∞のときだけではありません。
振動している時も収束はしていません。
実際、この問題ではBnは有界なので∞には発散しません。

この回答へのお礼

今年大学入学した1年生です……。
ノートを何度も見直してようやくこの問題が解けるぐらいには理解しました。
収束しない⇔発散　ではないことを聞き、ようやく分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/07/18 15:53

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/18 14:30

(2) は、｜Bn｜＜β となる β を使えば？

(3) は、対偶から攻めて、
A＞0 と lim An Bn の収束から
lim Bn の収束が言えてしまう
ことを示せばいい。

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/18 01:27

(1) lim Bn が収束するとき

(2) A=0 であるとき
(3) A＞0 かつ lim Bn が収束しないとき

で場合分け。

この回答へのお礼

早い回答ありがとうございます。
そのように分けると
（2）は明らか。
（1）はlimBn=ｂと置き、証明できました。
問題は（3）なのですが、この場合は
a>0から、limBnが＋∞に発散する時lim(n→∞)AnBnも＋∞に発散、limBnが－∞に発散する時lim(n→∞)AnBnも－∞に発散
でいいのでしょうか。
何度も質問してしまいすいません。

お礼日時：2009/07/18 02:43