分数関数の約分について

数3で、lim[x→2](x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝lim[x→2]x＋1/x－1とするのは、
『x≠2のとき(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1
よってlim[x→2](x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝lim[x→2]x＋1/x－1』
ということですよね？
『(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1
よってlim[x→2](x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝lim[x→2]x＋1/x－1』
と書いたらおかしいですよね？
…と今まで思っていたんですが、数2では、(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1のようにさらっと書いてあります。
こっちはこっちで今までは分母を0にするxは定義域に含まれないからだろうとか思っていた…というかあまり深く考えていなかったんですが、でも(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1としたらまず定義域が変わってしまいますよね？だからイコールで結ぶのはおかしいと思うんですが…
『x≠2のとき、(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1』
とするべきではないんでしょうか？
この辺のことを教えてくれる方がいたら助かります。
よろしくお願いしますm(__)m

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/21 13:20

問題ないでしょう。

もともと lim[x→2] の話をしているのですから、
x=2 での値は考えていないのです。
約分した後の (x+1)/(x-1) の定義域が
x=2 へ延長可能であろうとなかろうと、
この議論には何の関係もありません。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/21 13:33

>『x≠2のとき、(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1』

とするべきではないんでしょうか？
その通りです。

『(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1』
が成り立つのは『x≠2のとき』に限ります。

>『(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1
よってlim[x→2](x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝lim[x→2]x＋1/x－1』
と書いたらおかしいですよね？

そうです。減点ものでしょう。
しかし
『よってlim[x→2](x＋1)(x－2)/{(x－1)(x－2)}＝lim[x→2](x＋1)/(x－1)』
この記述だけなら、x=2とする表現ではないので、全く問題ない（正しい)ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
他のサイトでも似たような質問をしたのですが、
『問題文中で(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)という式が与えられた時点で、x≠1、2と言われているということだから、x－2は0ではないから、定数を約分するときのように、(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1としてよい。』
というような回答をくださる方もいて、これもなんだか正しそうで、でも極限の問題のときにこの考え方で記述したらやっぱりおかしいだろ、とも思い、どうなんだろう、と思っています。
高校数学の区切り(数2の問題か数3の問題かなど)によって適当に対応すればいいんでしょうか？；

お礼日時：2011/06/22 20:39

No.3 回答者： itukadarekato 回答日時： 2011/06/21 14:04

あなたの疑問と考え方が正しいです

数2で

(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1

と書いているのは、厳密には定義域 x≠1, x≠2 を省略した形です
高校2年生には難しいので、あからさまに意識させないためです

lim[x→2](x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝lim[x→2]x＋1/x－1

は元の関数の定義域に2が含まれませんから
当然あなたの疑問点と問題点が生じます

もっと簡単に

f(x)=(x-2)(x-1)/(x-2) を考えてみましょう

この関数と約分した

g(x)=x-1

を比較すると、x=2 以外では同じ関数です
更に g(x) は x=2 で連続な関数であることに注意してください
x=2で穴の開いた関数fを連続な関数gに交換しています

x=2 で連続な関数でなければ、そもそも

lim_(x→2)g(x)=g(2)

となりませんから、
高校生には x=2　を代入して極限値を計算することさへできません

このようにxを近づける1点だけで異なる場合
極限値を求めるときにfをgに交換してかまいません

(あなたの例の様に、x=2から離れた点(たとえばx=1)では
gが連続でなくてもかまいません。またfとgが同じでなくてもかまいません)

何故、fとｇを交換しても良いのかという問題は
質問とは別の問題であり、
他の回答者も触れているように高校生のレヴェルを超えた点があります

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞何故、fとｇを交換しても良いのかという問題は
質問とは別の問題であり、
他の回答者も触れているように高校生のレヴェルを超えた点があります

交換してよい理由というのは、今回の問題なら、lim[x→2]だからx－2≠0、よって(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1としてよいから、ではないんですか？

お礼日時：2011/06/22 20:53

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/21 18:48

お二人の勘違いの源は、

(x+1)/(x-1) と書けば x=2 でも定義されている
と決めてかかっていることにあります。

関数とはどのようなものだったか、改めて
思い起こしてみれば明白なように、
関数の定義域は、本来、式から読みとる
ことのできるものではありません。

0≦x≦1 で定義された (x+1)/(x-1) も、
x≧3 で定義された (x+1)/(x-1) も、
x≠2∧x≠1 で定義された (x+1)/(x-1) も、
同等の資格を持つ別個の関数です。

この問題では、lim[x→2] を考えているのだから、
関数は x=2 の近傍(ただし x=2 そのものは除く)
で定義されたものを扱っています。
それの定義域が x=2 まで延長できるか否かは、
今回の問題とは、また別件なのです。

x≠2 の範囲だけで考えていることを明示すれば
親切ではありますが、文脈から明らかな話
なので、書かければ減点ということは無い。

普通にやれば、解っている相手には通じます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞0≦x≦1 で定義された (x+1)/(x-1)

このような、分母を0にするxを定義域に含む関数というのは存在するんですか？

私が疑問なのは、

(1)問題文中で(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)という式が与えられた時点で、x≠1、2と言われているということだから、x－2は0ではないから、定数を約分するときのように、(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1としてよい。
(2)lim[x→2](x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝lim[x→2]x＋1/x－1としてよいのは、x→2は「xは2に限りなく近いが2とは異なる値をとる」という意味だから、つまりx≠2だからである。

(1)、(2)単独で考えるとどっちも正しいような気がするけれど、このふたつって矛盾してますよね？

ということです。
(1)が間違っているということでしょうか？

お礼日時：2011/06/22 20:47

No.5 ベストアンサー 回答者： itukadarekato 回答日時： 2011/06/22 22:21

再度説明すると

lim_(x→2)x+1=3 という計算は

高校では　通常xに2を代入して求めます
これは、f(x)=x+1 という関数が連続であることを仮定して
はじめて可能になることです
g(x)=(x+1)(x-2)/(x-2)
のx=1の穴を埋めた連続な関数が
f(x)=x+1
だということは直観的には明らかかもしれませんが
一般的に様々な関数についてきちんと説明することは
それほど簡単ではありません

3年生では左極限右極限というものを学習しているかもしれなせん
もし、これを学習しているならば
この2つの極限値が一致すれば、これを極限値としてかまいません
貴方のも問題はこれであるていどカバーできるでしょう
xを左からでも右からでも2に近づけるとき、具体的な2に近い数字を
代入した式には、分母に0がないからです
ただし収束の部分には直観が混じります

これも再度説明しますが

定義域を明示せず　y=1/x と書けばこの定義域は　x≠1　を意味するのが
暗黙の了解です
これは、数学者の論文でも変わりません
同様に定義域を明示せず
、(x＋1)(x－2)/(x－1)(x－2)＝x＋1/x－1
と書けば、よほどひねくれていない限り　定義域は実数Rからx=1とx=2
を除いたものです

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/22 23:52

＞　(1)、(2)単独で考えるとどっちも正しいような気がするけれど、このふたつって矛盾してますよね？

いいえ、矛盾しません。(1)(2)でよいのです。

例えば、
　　x≠2 のとき f(x) = (x+1)/(x-1),
　　x＝2 のとき f(x) = 123456789.
という関数 f を考えてみると、
lim[x→2] f(x) = lim[x→2] (x+1)/(x-1) が成り立ちます。
lim[x→2] f(x) を計算する上で、f(2) の値は影響が無いのです。

f(2) が定義されている必要すらなく、
　　x≠2 のとき g(x) = (x+1)/(x-1),
　　x＝2 のとき g(x) は定義されていない
という関数 g についても、
lim[x→2] g(x) = lim[x→2] (x+1)/(x-1) となります。
lim[x→2] g(x) を求めるときは、
2 に近いが 2 ではない x に対する g(x) しか関係がありません。

今回の問題でも、lim[x→2] (x+1)(x-2)/(x-1)(x-2) を考える際に、
(x+1)(x-2)/(x-1)(x-2) が x=2 で定義されていようが、いなかろうが、
結果になんの影響も及ぼしません。
最初から最後まで、x≠2 における関数値の話しかしていないからです。

だから、端折って「x≠2 において」とは書かなかったけれど、
lim[x→2] の話をしているのだから、x≠2 の範囲で考えているのは当然。
書くまでもない　…という立場は、常考許容範囲内でしょう。
減点なんて、とんでもないです。


＞　定義域を明示せず　y=1/x と書けばこの定義域は　x≠1　を意味するのが
＞　暗黙の了解です

これは、勝手な思い込みです。
1/(x-1) の定義域が x=1 を含まないのは当然ですが、
x=1 以外の全てを含むかどうかは、そう記述されていなければ解りません。
世の中には、1/(x-1) ただし x>2 とか、1/(x-1) ただし x>3 とか、
そういう関数が無数に存在するからです。
だいたい、x≠1 って、x≠1 の実数 x なんだか、x≠1 の複素数 x なんだか、
1/(x-1) という式のどこを見れば判るというのでしょう。

くどいようですが、関数の定義域というものは、式を見て読み取ることが
できるようなモノではありません。「関数」とは何か、定義を理解していれば、
このような間違いは起こりようがないのですが。

＞　これは、数学者の論文でも変わりません

そんな馬鹿な数学者はいません。