数学のフーリエ変換、およびデルタ関数の問題です！

数学のフーリエ変換、およびデルタ関数の問題です！助けて下さい（＞＜；）

(4) f(x)=(e^ix)/(x^2+1)とするときf(x)のフーリエ変換F(k)=(1/2π)∫[-∞,∞]e^(-ikx)・f(x)dxを求めよ。（kによる場合分けが必要）
(5) 微分方程式 -f''+f'=2πδ(x) (-∞＜x＜∞)を満たす解f(x)を一つ、フーリエ変換を用いて求めよ。ただしデルタ関数δ(x)のフーリエ変換は1/2πとなることを既知として用いて良い。

以上の2問です。本当に困っています(；＿；)
途中計算などは出来る限り詳しく書いてもらえると助かります。

これでは読みにくいと思われるので問題の写真を貼っておきます。
http://book.geocities.jp/yukarin6127/f_henkan.htm
よろしくお願い致しますm(＿)m

No.5 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/14 09:10

F(k)

=1/2/π・∫[-∞,∞]dx・e^(-i・k・x)・f(x)
=1/2/π・∫[-∞,∞]dx・e^(-i・k・x)・e^(i・x)/(x^2+1)
=1/2/π・∫[-∞,∞]dx・e^(i・(1-k)・x)/(x+i)/(x-i)

0<1-kのとき
∫○dzは-∞から実軸上を∞にいき∞から上半円上を-∞に至る周回積分

F(k)
=1/2/π・∫○dz・e^(i・(1-k)・z)/(z+i)/(z-i)
=1/2/π・(2・π・i)・e^(i・(1-k)・i)/(i+i)
=e^(-(1-k))/2

1-k<0のとき
∫○dzは-∞から実軸上を∞にいき∞から下半円上を-∞に至る周回積分

F(k)
=-1/2/π・∫○dz・e^(i・(1-k)・z)/(z+i)/(z-i)
=-1/2/π・(2・π・i)・e^(i・(1-k)・(-i))/(-i-i)
=e^(1-k)/2

以上まとめて

-∞<k<∞でF(k)=e^(-|k-1|)/2

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/13 09:32

-f"(x)+f(x)=2・π・δ(x)　…(1)

の一般解をフーリエ変換を使わずに求めてみる
nを0以上整数としてfがδのn階微分を持ちδのn+1階微分持たないとすると
(1)の左辺はδのn+2回微分を持ち右辺はδの1階微分しか持たないから矛盾
fはδの0階以上微分を持たない
fがδの0階以上微分を持たずf(x)がx=0で不連続とすると
(1)の左辺はδの2階微分を持つが右辺は持たないから矛盾
f(x)はx=0で有限であり連続である
また(1)から
-(f'(+0)-f'(-0))=2・π
である
一方-f"(x)+f(x)=0の解はe^(-x)とe^(x)の一次結合だから
A,B,C,Dを定数として
-∞<x<0で
f(x)=A・e^(-x)+B・e^(x)
f'(x)=-A・e^(-x)+B・e^(x)
0<x<∞で
f(x)=C・e^(-x)+D・e^(x)
f'(x)=-C・e^(-x)+D・e^(x)
x=0で(1)式左辺が連続でありf(x)が連続だから
A+B=C+D
x=0で(1)式左辺が不連続でありその段差が2・πであるから
f'(x)が不連続でありその段差が-2・πであるから
(-C+D)-(-A+B)=-2・π
よって
B=D+π
C=A+π
よって
-∞<x<0で
f(x)=A・e^(-x)+D・e^(x)+π・e^(x)
0<x<∞で
f(x)=A・e^(-x)+D・e^(x)+π・e^(-x)
よって-∞<x<∞で
f(x)=A・e^(-x)+D・e^(x)+π・e^(-|x|)
すなわちA,Bを任意定数として
-∞<x<∞で
f(x)=A・e^(-x)+B・e^(x)+π・e^(-|x|)

なおfがδの無限階微分を持つ可能性があると如何ともし難い

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/13 06:38

(*)の部分の一ヶ所で-がぬけていたみたい

-f"+f=2・π・δ(x)・・・(1)
こちらの都合のよい解として
lim[x→±∞]f(x)=0,lim[x→±∞]f'(x)=0
を満たすものを求める
以下∫dx,∫dkの積分範囲は-∞から∞とする
fのフーリエ変換を
F(k)=(1/2π)・∫f(x)・e^(-i・k・x)dx
とすると部分積分によりf"のフーリエ変換は
(1/2π)・∫f"(x)・e^(-i・k・x)dx
=-(-i・k)・(1/2π)・∫f'(x)・e^(-i・k・x)dx　…(*)
=(-i・k)^2・(1/2π)・∫f(x)・e^(-i・k・x)dx
=-k^2・F(k)
よって(1)の両辺をフーリエ変換すると
(k^2+1)・F(k)=1
よって
F(k)=1/(k^2+1)・・・(2)
(2)を逆フーリエ変換してfを求める
すなわち
f(x)=∫F(k)・e^(i・k・x)dk
0<xのとき
∫dzの積分経路を複素平面上をRを実数として
-Rから実軸上でRまで行き
Rから上半平面上の半円を通って-Rに至る周回とすると
∫F(k)・e^(i・k・x)dk
=lim[R→∞]∫F(z)・e^(i・z・x)dz
=lim[R→∞]∫1/(z^2+1)・e^(i・z・x)dz
=lim[R→∞]∫1/(z+i)/(z-i)・e^(i・z・x)dz
=lim[R→∞]2・π・i/(2・i)・e^(i・i・x)
=π・e^(-x)
すなわち0<xのときf(x)=π・e^(-x)
x<0のとき
∫dzの積分経路を複素平面上をRを実数として
Rから実軸上で-Rまで行き
-Rから下半平面上の半円を通ってRに至る周回とすると
∫F(k)・e^(i・k・x)dk
=-lim[R→∞]∫F(z)・e^(i・z・x)dz
=-lim[R→∞]∫1/(z^2+1)・e^(i・z・x)dz
=-lim[R→∞]∫1/(z+i)/(z-i)・e^(i・z・x)dz
=-lim[R→∞]2・π・i/(-2・i)・e^(-i・i・x)
=π・e^x
すなわちx<0のときf(x)=π・e^(x)
以上まとめると
f(x)=π・e^(-|x|)

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/13 06:24

(5)よくみると一つ求めたらいいのだからこちらの都合のよい解を求める

問題は画像の方が正しいとすると

-f"+f=2・π・δ(x)・・・(1)
こちらの都合のよい解として
lim[x→±∞]f(x)=0,lim[x→±∞]f'(x)=0
を満たすものを求める
以下∫dx,∫dkの積分範囲は-∞から∞とする
fのフーリエ変換を
F(k)=(1/2π)・∫f(x)・e^(-i・k・x)dx
とすると部分積分によりf"のフーリエ変換は
(1/2π)・∫f"(x)・e^(-i・k・x)dx
=(-i・k)・(1/2π)・∫f'(x)・e^(-i・k・x)dx
=(-i・k)^2・(1/2π)・∫f(x)・e^(-i・k・x)dx
=-k^2・F(k)
よって(1)の両辺をフーリエ変換すると
(k^2+1)・F(k)=1
よって
F(k)=1/(k^2+1)・・・(2)
(2)を逆フーリエ変換してfを求める
すなわち
f(x)=∫F(k)・e^(i・k・x)dk
0<xのとき
∫dzの積分経路を複素平面上をRを実数として
-Rから実軸上でRまで行き
Rから上半平面上の半円を通って-Rに至る周回とすると
∫F(k)・e^(i・k・x)dk
=lim[R→∞]∫F(z)・e^(i・z・x)dz
=lim[R→∞]∫1/(z^2+1)・e^(i・z・x)dz
=lim[R→∞]∫1/(z+i)/(z-i)・e^(i・z・x)dz
=lim[R→∞]2・π・i/(2・i)・e^(i・i・x)
=π・e^(-x)
すなわち0<xのとき
f(x)=π・e^(-x)
x<0のとき
∫dzの積分経路を複素平面上をRを実数として
Rから実軸上で-Rまで行き
-Rから下半平面上の半円を通ってRに至る周回とすると
∫F(k)・e^(i・k・x)dk
=-lim[R→∞]∫F(z)・e^(i・z・x)dz
=-lim[R→∞]∫1/(z^2+1)・e^(i・z・x)dz
=-lim[R→∞]∫1/(z+i)/(z-i)・e^(i・z・x)dz
=-lim[R→∞]2・π・i/(-2・i)・e^(-i・i・x)
=π・e^x
すなわちx<0のとき
f(x)=π・e^(x)
以上まとめると
f(x)=π・e^(-|x|)

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/12 21:20

（４）複素積分を留数を使って求める

（５）フーリエ積分はx→-∞のとき解が指数関数的に増大するので不可能のはず
だから開始点を指定したラプラス変換が考えられたと思う