No.2ベストアンサー
- 回答日時:
露骨な誘導に従って、牛馬の如く計算するだけです。
(1)
f(0) は、与式に x=0 を代入して、f(0) = 0^2 - ∫[0→0]なんかdt = 0.
与式を f(x) = x^2 - ∫[0→x](x-t)f'(t)dt
= x^2 - x∫[0→x]f'(t)dt +∫[0→x]tf'(t)dt
= x^2 - x{ f(x) - f(0) } + [ tf(t) ]_(0→x) - ∫[0→x]f(t)dt ; 部分積分
= x^2 - xf(x) + 0x + xf(x) - 0f(0) - ∫[0→x]f(t)dt
= x^2 - ∫[0→x]f(t)dt
と計算してから、微分すると、f'(x) = 2x - f(x).
(2)
(1)の式を変形して、2x = f(x) + f'(x).
両辺に e^x を掛けて、2xe^x = (e^x)f(x) + (e^x)f'(x) = (e^x f(x))'.
(3)
(2)の式を 0→x で積分して、
(e^x)f(x) - (e^0)f(0) = 2∫xe^x = 2[ xe^x ] - 2∫(e^x)dx = 2xe^x - 2(e^x - 1)
より f(x) = (e^-x){2xe^x - 2(e^x - 1)} = 2x - 2 + 2e^-x.
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自分なりの解答を作ろうとしましたがどうしても出すことができなく助けをお借りしたいです。