行列式

３行３列の問題でA=(5 3 -3　0 -1 2 0 0 1)　　(行です)逆行列と余因子行列を求めたいのですが
A^-1＝？？Ã＝？？┃A┃＝？？どのように求めればよいのでしょうか？行列はさっぱりわからなくて参考書を読んでもわかりません；；よろしくお願いします。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/25 23:13

余因子行列を定義どおりに計算して

それを使って逆行列を求めるのは、
多くの場合、計算違いのもとにしかならない。

要求された３つの物のうち、最も簡単なのは
逆行列。掃き出し法を使えば、すぐ求まる。
行列式は、やや面倒だが、基本変形を上手く使って
気合で求める。ここで例え余因子展開を使ったとしても、
余因子行列の全成分を求めるより、計算量は少ない。
逆行列に行列式の値を掛ければ、余因子行列も求まる。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/11/25 15:43

求め方は参考URLにそっくり載っていますので

それに従って計算するだけです。
参考URL
3行3列の場合
余因子行列の公式
「http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/math/yoi …」
例題
「http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra …」の例２

A=
(5 3 -3)
(0 -1 2)
(0 0 1)

|A|=
|5 3 -3|
|0 -1 2|
|0 0 1 |

一列目で展開
=5(-1-0)=-5

Ã=
(-1 -3 3 )
( 0 5 -10)
( 0 0 -5 )

A^-1=Ã/|A|=
(1/5 3/5 -3/5)
( 0 -1 2 )
( 0 0 1 )

参考URL：http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/math/yoi …

No.2 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/11/24 23:43

| 5 3 -3 |

A=| 0 -1 2 |
| 0 0 1 |

のとき

代数的余因子行列式

　　｜　－１　２　｜　　｜　０　２　｜　　｜０　－１　｜
＝５｜　　　　　　｜ー３｜　　　　　｜－３｜　　　　　｜
　　｜　０　　１　｜　　｜　０　１　｜　　｜０　　０　｜

＝－５＋０＋０
＝－５

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2011/11/24 22:24

教科書に従ってやるだけなんだけど、それを見ても分かりにくいのも共感できる。

そこで覚え方だけを提案する。

まずは余因子行列から。

教科書どおりいきなり計算すると、恐らく間違える。私なら１００％間違えるｗ

そこで３段階に分けるのをお勧めする。

(1)各成分の小行列式を求める。そしてそれをその成分に置く。
　　　小行列式とは、その成分と同じ行、同じ列を除いて出来る行列の行列式のこと。
　　　例えば下図で、行列Ａの（１，１）成分（赤い「？」をつけたところ）の
　　　　小行列式は赤い四角で囲んだ２×２行列の行列式になる。
　　　　下図の場合はｅｉ－ｆｈ
　　　（１，２）成分も同様に、１行２列を除いて出来る
　　　　　（ｄ　ｆ）
　　　　　（ｇ　ｉ）
　　　　の行列式を算出し、青い「？」の箇所に書く
　　　真ん中の場合は、２行２列を除くので、４隅の成分を寄せ集めてできる２×２行列の
　　　行列式を真ん中に書く。

　　　以上を３×３＝９個の成分すべてについて行なう。

(2)符号を変える
　　　下図の(2)で黒字に白で「－」をつけた成分だけ符号を反転させる。。
　　　プラスはマイナスに、マイナスはプラスにする。
　　　それ以外の成分（「＋」の箇所）はそのまま。


(3)転置する
　　　行と列をひっくり返す

以上で余因子行列は完成。

　　　
次に逆行列。これは、上で求めた余因子行列を、元の３×３行列の行列式で割ればいい。

　　３×３行列の行列式の算出法は色々あるけど、私の解釈では、問題の行列は三角行列。
　　だとすれば、対角成分（左上から右下の３つの成分）を掛け合わせるだけでいい。
　　それで余因子行列の各成分を割って出来上がり。