Xの3乗＋Yの3乗＝Zの3乗

Xの3乗＋Yの3乗＝Zの3乗
をみたす3つの自然数は存在しないことを示せ。
考え方をおしえてください（；＿；）

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2014/04/20 04:46

(長文のため一部省略しました)

Z=(全整数)
ω=(-1+√-3)/2
Z(ω)={t+uω|t,u∈Z}
λ=1-ω

S_0={(x,y,z)|x^3+y^3=z^3,x,y,zは自然数}

自然数mに対して,
S(m)={(x,y,z,ε)|
x^3+y^3=ε(λ^{3m})z^3
,xyz≠0
,x,y,z,λはZ(ω)で2つずつ互いに素
,εはZ(ω)の単数}
とする

(補1)Z(ω)∋ξ≠0(modλ)の時→ξ=±1(mod9),(証略)

(補2)S_0≠φの時→S(m)≠φとなる自然数mが存在する,(証略)

(定理)S_0=φ
証)
ある自然数mに対して
S(m)≠φと仮定すると
(x,y,z,ε)∈S(m)
が存在する
x,λは互いに素だから
(補1)から
x^3=±1(mod9)
y,λは互いに素だから
(補1)から
y^3=±1(mod9)
だから
x^3+y^3=(±2.or.0)(mod9=ωλ^4)
x^3+y^3=±2(mod9)を仮定すると
x^3+y^3=±2≠0=ε[λ^{3m}]z^3=x^3+y^3(modλ^3)
と矛盾するから
x^3+y^3=0(mod9)
x^3+y^3=9ηとなるη∈Z(ω)がある
9=ωλ^4だから
ωηλ^4=x^3+y^3=ε[λ^{3m}]z^3

m=1のとき
ωηλε^{-1}=z^3
λがzの約数となって
λとzが互いに素である事に矛盾するから
S(1)=φ

m≧2のとき
S(m-1)=φと仮定する
x^3+y^3=(x+y)(x+yω)(x+yω^2)=(λ^{3m})z^3……(1)
(x+y),(x+yω),(x+yω^2)の3つの因数の内
どれかはλの倍数だが
これらの3つの因数の内のどれかはλで割れる
x+y=0(modλ)→x+yω=(x+y)-yλ=0(modλ)
x+yω=0(modλ)→x+yω^2=(x+yω)ω+xλ=0(modλ)
x+yω=0(modλ)→x+y=(x+yω)+yλ=0(modλ)
x+yω^2=0(modλ)→x+y=(x+yω^2)-yλω^2=0(modλ)
だから3つともλの倍数。
どれか1つはλ^2の倍数
x+y=x+yω=0(modλ^2)
→yλ=(x+y)-(x+yω)=0(modλ^2)→y=0(modλ)
→xλ=(x+yω)-ω(x+y)=0(modλ^2)→x=0(modλ)
→x,yが互いに素に矛盾する
x+yω=x+yω^2=0(modλ^2)
→xλ=(x+yω^2)-(x+yω)ω=0(modλ^2)→x=0(modλ)
→yλω=(x+yω)-(x+yω^2)=0(modλ^2)→y=0(modλ)
→x,yが互いに素に矛盾する
x+y=x+yω^2=0(modλ^2)
→xλ=(x+y)-(x+yω^2)ω=0(modλ^2)→x=0(modλ)
→yλ(1+ω)=(x+y)-(x+yω^2)=0(modλ^2)→y=0(modλ)
→x,yが互いに素に矛盾するから
3つの因数のどれか1つだけλ^2の倍数となる
3つの因数のどれか2つはλだけの倍数で
他の1つはλ^{3m-2}の倍数となる
x+yω=0(modλ^{3m-2})の時yとyωを交換し
x+yω^2=0(modλ^{3m-2})の時yとyω^2を交換すれば
x+y=0(modλ^{3m-2})となる
x+y=(λ^{3m-2})κ…………………(2.1)
x+yω=λμ…………………(2.2)
x+yω^2=λν…………………(2.3)
κ,μ,νはλの倍数でない
κ,μ,ν∈Z(ω)がある
3つの因数がλ以外の公約数があるならばそれは
x+yω-(x+y)=-yλ
x+yω^2-(x+yω)ω=xλ
の公約数、したがってx,yの公約数になるが
x,yは互いに素だから
3つの因数はλ以外の公約数を持たないから
κ,μ,νは互いに素
(1)と(2.1)(2.2)(2.3)から
κμν=εz^3
だからZ(ω)での素因子分解の一意性から
κ,μ,νはそれぞれ立方数又は立方数の同伴数となる
κ=-ε1α^3
μ=-ε2β^3
ν=-ε3γ^3
β,γ,αは互いに素でλとも素で,ε1,ε2,ε3は単数となるものがある
(2.1)(2.2)(2.3)にこれを代入すると
x+y=-ε1(λ^{3m-2})α^3
x+yω=-ε2λβ^3
x+yω^2=-ε3λγ^3
だから
A=
(1,1,ε1(λ^{3m-2})α^3)
(1,ω,ε2λβ^3 )
(1,ω^2,ε3λγ^3 )
X=(x,y,1)^t=((x,y,1)の転置縦ベクトル)
とすれば
AX=0
X≠(0,0,0)^t
だから
|A|
=
|1,1,ε1(λ^{3m-2})α^3|=0
|1,ω,ε2λβ^3 |
|1,ω^2,ε3λγ^3 |
だから
(ω^2-ω)ε1(λ^{3m-2})α^3+(1-ω^2)ε2λβ^3+(ω-1)ε3λγ^3=0
↓
ε2β^3+ωε3γ^3=(1+ω)ε1(λ^{3(m-1)})α^3
だから
δ=ωε3/ε2
δ'=(1+ω)ε1/ε2
とするとδ,δ'は単数で
β^3+δγ^3=δ'(λ^{3(m-1)})α^3
β,γはλで割り切れないから(補1)から
β^3=±1(mod9)
γ^3=±1(mod9)
m>1だから
δ'(λ^{3(m-1)})α^3=0(modλ^3)
だから
±1±δ=0(modλ^3)
|δ|=1<3√3=|λ^3|
だから
δ=±1
γとδγを交換しε'=δ'すると
β^3+γ^3=ε'(λ^{3(m-1)})α^3
となって
(β,γ,α,ε)∈S(m-1)
S(m-1)=φに矛盾するから
S(m)=φ
∴任意の自然数mに対して
S(m)=φ
(補2)からS_0=φ

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/03 23:18

3乗に限定すれば「360年」もかかってないですけどね＞#2.

4乗は (不完全だけど) フェルマー, 3乗はオイラーでしたっけ.

No.2 回答者： BASKETMM 回答日時： 2012/03/03 07:43

こんな難しい問題をこの欄で解くのは無理です。

最初に問題を出した人がいて、３６０年後に初めて解けた問題ですから。

真面目に答えます。
これはフェルマー（フランス人）が出した問題です。徳川家光の時代です。
解いたのはワイルズ（イギリス人）。１９９３年です。
解決に貢献したのは谷山豊、志村五郎（日本人）。貢献した人は他にも沢山おられます。

志村先生は今もご存命です。（多分８０歳くらい）

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/02 03:44

X^3+Y^3=(X+Y)(X^2+Y^2-XY)

これがZ^3になると仮定すると
矛盾がおこることを示せば良いでしょう。

矛盾が起きた原因はZ^3になる仮定ですからそれが否定されることで証明できるでしょう。