-π/4<θ<π/4、sinθ+cosθ=・・・・

-π/4<θ<π/4、sinθ+cosθ=1/2とする。このとき、sinθ-cosθ=□である。

どなたかわかる方いらっしゃいますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154025 回答日時： 2012/05/13 17:46

sinθ+cosθ=1/2

両辺を二乗して(sinθ+cosθ)^2=1/4
sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1/4
三角関数の相互関係よりsin^2θ+cos^2θ=1だから
2sinθcosθ+1=1/4
1を移行して2sinθcosθ=-3/4
両辺2で割ってsinθcosθ=-3/8―(1)
次に、sinθ-cosθ=□の両辺を二乗するとsin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ=□^2
三角関数の相互関係より-2sinθcosθ+1=□^2
ここで、(1)よりsinθcosθ=-3/8であるから、これを代入して
6/8+1=□^2
□^2=7/4
□=±√7/2

θは、-45゜から45゜だからcosθは正(-cosθは負) 更にsinθcosθ=-3/8よりcosθは正だからsinθは負
従ってsinθ-cosθは負+負(sinθは負、-cosθも負だからsinθ+(-cosθ)は負+負)だから負である
よってsinθ-cosθ=-√7/2
間違いでしたらすみません

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/14 11:18

#2です。

A#2の訂正です。
最後から３番目の式で転記ミスがありました。

>(E)より
>　(sinθ-cosθ)^2-(3/2)=1/2
正：(sinθ-cosθ)^2-(3/2)=1/4

従ってこの影響で以下の２行も訂正になります。

>　(sinθ-cosθ)^2=2
正：(sinθ-cosθ)^2=7/4

>(B)より
>　∴sinθ-cosθ=-√2
正：∴sinθ-cosθ=-(√7)/2

以上です。

失礼、しました。

＃No.4さん指摘有難う。

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/05/13 20:57

#1さんの答えが正解です。

(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθ=(1/2)^2=1/4
sinθcosθ=-3/8
(sinθ-cosθ)^2=1-2sinθcosθ=1+3/4=7/4
sinθ-cosθ=±(√7)/2
-π/4<θ<π/4ではsinθ＜cosθ
よってsinθ-cosθ=-(√7)/2

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/13 19:44

関数電卓で計算したところ、θ≒-24.30°

∴sinθ-cosθ≒-1.3229
正確な値は-√7/2 っぽいですね。

#2さんの間違いは
＞(E)より
＞　(sinθ-cosθ)^2-(3/2)=1/2

右辺が1/2ではなく1/4

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/05/13 19:32

＞-π/4<θ<π/4、sinθ+cosθ=1/2とする。

このとき、sinθ-cosθ=□である。
（sinθ＋cosθ）^2＝sin^2θ＋２sinθcosθ＋cos^2θ＝１＋２sinθcosθより、
(1/2)^2＝１＋２sinθcosθより、
２sinθcosθ＝（1/4）－１＝－3/4
（sinθ－cosθ）^2＝１－２sinθcosθ＝１－（－3/4）＝7/4
合成の公式より、
sinθ－cosθ＝√２sin（θ－π/4）
-π/4<θ<π/4のとき、-π/2＜θ－π/4＜０だから、sin（θ－π/4）＜０より、
sinθ－cosθ＝√２sin（θ－π/4）＜０
よって、sinθ－cosθ＝－√７／２

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/13 17:50

-π/4<θ<π/4より

　-1/√2<sinθ<1/√2, 1/√2<cosθ≦1 ...(A)
　∴-(2+√2)/2<sinθ-cosθ<0 ...(B)

　sinθ+cosθ=1/2 ...(C)
自乗して
　(sinθ+cosθ)^2=1/4 ...(D)
　1+2sinθcosθ=1/4
sinθcosθ=-3/8 ...(E)
(D)より
　(sinθ-cosθ)^2+4sinθcosθ=1/4
(E)より
　(sinθ-cosθ)^2-(3/2)=1/2
　(sinθ-cosθ)^2=2
(B)より
　∴sinθ-cosθ=-√2