２つの放物線間の最短距離

２つの放物線間の最短距離をラグランジュの未定乗数法を用いて求める方法を教えていただけないでしょうか．

２つの式はそれぞれ　y=x^2・・・(1) y=-3(x-1)^2・・・(2)　です．

個人的には
式(2)上の１点を(a,b)と置く．
式(1)上の任意の一点(x,y)との距離を√(x-a)^2+(x-b)^2 と表す．
f(x,y)=√(x-a)^2+(x-b)^2 g(x,y)=y-x^2=0　と置き，ラグランジュの未定乗数法を用いて(a,b)でのf(x,y)の最小値を出す．
aについての増減表を書いて最短距離と放物線上の２点を求める．
という方法で求められるのではないかと思ったのですが，最小値を求めることができませんでした．

図書館などで微積分の演習書を全部調べましたが同じような問題を見つけることができず，困っています．
宜しくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/23 22:37

f(x,y)は√を取らないで距離の自乗を使い、最小化します。

今の場合、(2)上の点(a,b)も動くパラメータなので
　f(x,y,a,b)=(x-a)^2+(x-b)^2　...(3)
と置きます。
自乗を使う方が計算が複雑にならないで済みます。
結果の最小値の√をとれば最小距離が得られます。

拘束条件は
　g(x,y)=y-x^2=0 ...(4)
　h(a,b)=b+3(a-1)^2=0 ...(5)
です。ラグランジュの未定乗数法の評価式を
　F(x,y,a,b)=f(x,y,a,b)-λ_1*g(x,y)-λ_2*h(a,b)　...(6)
とおいて,Fをx,y,a,b,λ_1,λ_2で偏微分した式を=0とおいて
　2(λ_1 +1)x-2a=0 ...(7)
　2y-λ_1 -2b=0 ...(8)
　-2x+6(1-a)λ_2 +2a=0 ...(9)
　-2y-λ_2 +2b=0 ...(10)
　y-x^2=0 ...(4)
　b-3(a-1)^2=0 ...(5)
この連立方程式の実数解の組(x,y,a,b,λ_1,λ_2)を求めるとただ一組みだけ存在し、その解の組みは
　(x,y,a,b,λ_1,λ_2)=(1/2,1/4,5/6,-1/12,2/3,-2/3)
となります。
この時、
　f(x,y,a,b)=f(1/2,1/4,5/6,-1/12)=2/9
距離の最小値は√をとって
　距離の最小値√2/3　となる。

この様子を添付図の示します。
　この距離が最小となる時の、グラフ上の点を
(1),(2)のグラフ上にプロットしてみた図を見れば距離が最小になっていることが確認できます。
(2)のグラフ上に点A(a,b)=(5/6,-1/12)、
(1)のグラフ上に点B(x,y)=(1/2,1/4)
を白抜き青丸で描き、２点AB間を青線で結んであります。

なお、この最小距離の時、直線ABは(1),(2)の共通法線になっています。
つまり、点Bにおける(1)の法線と点Aにおける(2)の法線が一致する
場合が距離最小になる場合であるということを意味します。
なので、この問題をラグランジュの未定乗数法を使わないで解くには、(1)上の点(x,y)における(1)の法線と,
(2)上の点(a,b)における(2)の法線
とが一致するように(x,y)と(a,b)を決定し、それを使って
　最小距離=√{(x-a)^2+(y-b)^2}
を求めれば良いです。

この回答へのお礼

大変詳しく教えていただいてありがとうございます．
まさかグラフまで作っていただけるとは・・・
何気なく使っていましたが，ラグランジュの未定乗数法というものがこういうものだということを知りませんでした．
ありがとうございました．

お礼日時：2012/05/23 23:41