式の開平法を教えてください

4x^4 - 12x^3 + 13x^2 - 6x + 1　の平方根を求めよ
という問題がありました。これはどうやったら求められるのでしょうか？

No.10 回答者： staratras 回答日時： 2012/06/22 23:48

Ｎｏ.５です。

文字を揃えて見易くするのが難しいので、画像を添付します。参考までに５３３６１（=２３１＾２）の開平計算も付記します。（水色の部分は副計算で足し算です）

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/18 23:05

ああ、いかん、いかん。

まだ違う。

f(x) と df/dx の最大公約式 g(x) は、
f(x) の全ての n 重根を n-1 重根に持ち、
それ以外の根は持たない。

よって、g(x) と dg/dx の最大公約式で
g(x) を割った商 h(x) は、f(x) の
全ての多重根を単根に持つ多項式であり、
f は h の２乗で割り切れる。

その商を f の代わりにして同様の手順を反復し、
出てくる h が定数式になるまでやれば、
f の全ての平方因子が見つかる。

…今度こそ、決定版です。何度もすみません。

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/18 22:21

あ、いかん。

A No.7 は間違い。全面訂正します。
f(x) と df/dx の最大公約式が、平方因子
になるので、ユークリッドの互除法をすれば
いいのでした。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/18 22:13

一般に、多項式 f(x) の平方因子を見つけるには、

f(x) = df/dx = 0 を解けばよいです。
f(x) を df/dx で割った余りは一次式なので、
多項式の割り算を知っていれば、
f が何次式であろうと、平方因子の有無を判定し、
在ればその因子を求めることができます。
これを、平方因子がなくなるまで(f を df/dx で
割った余りが定数式になるまで)反復し、
f が定数式になれば、開平成功です。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/18 19:35

一般には、かなり面倒臭い計算になることもあるけれど、

f(x) = 4x^4 - 12x^3 + 13x^2 - 6x + 1 に対する √f(x) なら、
f(1) = 0 であることに勘づいてしまえばホボ終りでしょう。
g(x) = f(x)/(x-1) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1 と置くと、
g(1) = 0 にも気づくのではないかと思います。
g(x)/(x-1) は二次式ですから、平方完成を行えば、
開平できる式かどうか判ると同時に平方根も求まります。

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2012/06/18 17:34

大昔に中学校で習った記憶がある数についての開平法を

整式に対して使えば簡単に開けると思います。
なお以下の□は文字を揃えるために入れたので無視してください。

(1)4X^4の平方は2X^2なので2X^2を立てる
副計算で2x^2+2x^2=4x^2を計算しておく

□□□□□□□□□□□□□2x^2
　　 )------------------------------------------
2x^2□□4x^4-12x^3+13x^2-6x+1
2x^2□□4x^4
-----------------------------------------------
4x^2□□□□□-12x^3+13x


(2)4X^2にかけて-12x^3となるのは-3xなので-3xを立てる
副計算で4x^2-3x+(-3x)=4x^2-6xを計算しておく

□□□□□□□□□□□□□2x^2-3x
)---------------------------------------------
2x^2□□4x^4-12x^3+13x^2-6x+1
2x^2□□4x^4
----------------------------------------------
4x^2-3x□□□-12x^3+13x^2
□□□-3x□□□-12x^3+ 9x^2
-----------------------------------------------
4x^2-6x□□□□□□□□4x^2-6x+1


(3)4x^2にかけて4X^2となるのは１なので1を立てる
うまく平方に開けて(残りが０になって）くれました

□□□□□□□□□□□□□2x^2-3x+1
)--------------------------------------------
2x^2□□4x^4-12x^3+13x^2-6x+1
2x^2□□4x^4
---------------------------------------------
4x^2-3x -12x^3+13x^2
□□□-3x -12x^3+ 9x^2
----------------------------------------------
4x^2-6x+1□□□□□□4x^2-6x+1
□□□□□□□□□□□□4x^2-6x+1
-----------------------------------------------　　　
□□□□□□□□□□□□□□□□□□0

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/18 13:41

強引な係数照合なら…。

　4x^4 - 12x^3 + 13x^2 - 6x + 1 = (ax^2 + bX + c)^2
　　　　↓
　　a^2 = 4
　　2ab = -12
　　2ac + b^2 = 13
　　2bc = -6
　　c^2 = 1
条件 5 つは、いわゆる「過剰決定」。
「3 つから勘定。残りの 2 つで検算」かな？

たとえば、
　　a = 2, b = -3, c = 1
(けど、多項式の「開平」にて ± はどうするのかしらん？)
　　　

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/18 10:58

「開ける」ことがわかっているなら, 数値に対する開平と同じように「上位桁」から処理してもできる.

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/18 09:09

>4x^4 - 12x^3 + 13x^2 - 6x + 1

目算させる問題、でしょうかね。

　x = 1 のとき零になるから、(x-1) で割り切れる。
　(x-1) で割つた結果は、4x^3 - 8x^2 + 5x - 1
　これも (x-1) で割り切れ、商は 4x^2 - 4x + 1
　4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2

つまり、4x^4 - 12x^3 + 13x^2 - 6x + 1 = (x-1)^2(2x-1)^2
　　

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/18 02:04

因数分解して平方根を求めればいいかと思います。

例えば
36の場合
36=2*2*3*3=6^2=Y^2 → 平方根Y=±6
のように…。

因数分解すると
4x^4-12x^3+13x^2-6x+1=((x-1)^2)*((2x-1)^2)
=Y^2　とおくと
平方根Y=±(x-1)(2x-1)