世界一美しい式について　ｅ＾(iπ)＝－1

Question

世界一美しい式について
ｅ＾(iπ)＝－1 の説明過程で論理の飛躍を感じます。
（自然数ｅのiπ乗です）

オイラーの等式の説明を読んでいるときに気が付いたことがあります。

その説明を以下に書きます。

『ｅ＾ｘ＝1 + ｘ/1！+ ｘ＾2/2！+ ｘ＾3/3！+ ・・・・（－∞＜ｘ＜∞） →(1)式とする

ここで、ｘ＝iｘとおくと、 →(2)とする

ｅ＾iｘ＝1 +i ｘ/1！+i ｘ＾2/2！+ iｘ＾3/3！+ ・・・・ →(3)式とする

以降、、、うんぬん、、、

ｘ＝πとおくと、うんぬん、、、

∴ｅ＾(iπ)＝－1』

ここからが私が思ったことです。

(1)式が表していることは、括弧内の補足から明らかなように、ｘがすべての実数であること、ですよね。

で、(2)で、いきなり変数ｘにixという虚数を代入しているところです。

現在実数域で成立しているはずの、(1)式に、何の説明もなく補足もなく、虚数を代入しているところに、疑問を感じました。

厳密なはずの数学にしては、安易な発想のように思えるのです。

つまり(1)式から(3)式に移る際に、何か重要なものが抜けていると思うのです。

それとも、たとえば、実数で成立する公式などに、虚数を代入しても良いものなのですか？

そこが私の疑問点です。

どうか、宜しくお願いいたします。

kabaokaba · Accepted Answer

No.5
=================================
例えば
(a+ib)^2
1/(a+ib)
e^(a+ib)
sin(a+ib)
√(a+ib)
log(a+ib)
いずれも代入は可能であり、さらにそのいずれも　α+iβ の形にすることができます。つまり複素数でとじていることになります。
例えば、1/(a+ib)={a/(a^2+b^2)} + i・{(-b)/(a^2+b^2)} で複素数の商は複素数になるようにです。
==================================

だめ．この例の中で，安易にやってはいけないものが二つ混ざっている．
それこそ「e^{iπ}=-1」を冷静に眺めれば安易にやってはいけないものの
ひとつはすぐわかる
もうひとつは・・・ちょっと考えにくいかな．けどやっぱり
ほかのものとは異質だからすぐわかる
＃ちなみに質問者の前の質問「複素数の大きさ」に関係する
＃複素数に「0より大きい」は存在しないってのが重要

==================================

オイラーの計算（といわれている）「実数部分に複素数を代入する」というのは
現代数学の手法ではありません．
今なら「発見的手法」とかいわれて証明とはみなされません．

質問者の今までの質問から見て大学生以上でしょうが
大学生（それも一年生以上だったら）にしては・・・基礎知識が不足かも．

まじめな微積分（もしくは複素関数）の教科書をみることをお勧めしますが，
今の数学では
複素数に対して級数の理論を展開して，
べき級数の絶対収束性を考慮して処理するのが一般的でしょう
つまり複素数zに対して
e^{z}とsin(z)，cos(z)を「実数のときと同じ」に定めて問題がないことを証明して
e^(a+bi)=e^a(cos(b)+isin(b))
を証明するということです．準備さえ整えばこの式の証明は自明です．

tknakamuri · Answer

>(1)式が表していることは、括弧内の補足から明らかなように、ｘがすべての実数であること、ですよね。

テイラー展開は複素数の定義域に拡張できます。

exp（x）は元々実数定義域で定義されたものですが
テイラー展開の複素数への拡張を利用することで exp(x) の
「複素数版を定義」しているのです。

こうして定義された新しい exp(x) はオイラーの公式を満たします。

zeta0208 · Answer

ｅ＾ｘ＝1 + ｘ/1！+ ｘ＾2/2！+ ｘ＾3/3！+ ・・・・（－∞＜ｘ＜∞） →(1)式とする
これはe^xの定義の一つです。
そこで指数にiを導入した式を
ｅ＾iｘ＝1 +i ｘ/1！+i ｘ＾2/2！+ iｘ＾3/3！+ ・・・・
と定義して新たに指数の複素数を構築したという感じではないかと思います。
オイラーは当時は証明は結構曖昧で直感的に式に複素数を導入したのではと思われます。但し、まったく根
拠がなく導入したのではなく、いろんな式に変形しても、あるいは別の方法で解いても矛盾がないことは確認したようです。

実数で成立する公式に虚数（複素数）を代入しても良いかということですが、私の知りうる範囲（まあせいぜい高校数学程度ですが）大丈夫です。

例えば
(a+ib)^2
1/(a+ib)
e^(a+ib)
sin(a+ib)
√(a+ib)
log(a+ib)
いずれも代入は可能であり、さらにそのいずれも　α+iβ の形にすることができます。つまり複素数でとじていることになります。
例えば、1/(a+ib)={a/(a^2+b^2)} + i・{(-b)/(a^2+b^2)} で複素数の商は複素数になるようにです。

興味があるのであれば『オイラー入門』Ｗ．ダンハム著　出版社: シュプリンガーフェアラーク東京　をお勧めします。

オイラーがどのようにして、また、どのような経緯で複素数を導入していたったかを割りと解りやすく解説してあります。

ngkdddjkk · Answer

ちなみに、個人的にはe^(-iπ)+1=0の方が美しいです。

人間が定義したものだけで書かれます。

ngkdddjkk · Answer

今私たちの目にしているオイラーの公式などの説明は、当時と違います。

おそらく、オイラーの公式を易しく説明しようとして、ある程度知っている前提として書かれている場合が多いです。
因みに何で（1）式の定義域となるかは、xが実変数だからです。
これを複素数にまで拡張するのは、複素関数論の初歩です。勉強してください。

takafiro974 · Answer

（自分　ニュートン別冊　『”ありもしない”のに難問解決に不可欠な数　虚数がよくわかる』なんて持ってますので実質受け売りです）
質問文中の式（３）
ｅ＾iｘ＝1 +i ｘ/1！+i ｘ＾2/2！+ iｘ＾3/3！+ ・・・　は

正しくは　こうです
ｅ＾iｘ＝1 +i ｘ/1！ - ｘ＾2/2！  - iｘ＾3/3！+ x＾4/4 !+ ix＾５/5!…
階乗が　虚数単位 『にも』かかるため、
１ ,  i ,  -1,  -i　がくりかえしで付くのです。

だから虚数単位の無い項と　有る項とで選り分けると
cos x   とi sin x　の和　  e^ix=cos x+i sin x  になっちゃうのです。
x=πのときには　cos π=-1　,sin π＝０ですから
e^iπ= -1　となります。

spring135 · Answer

>(1)式が表していることは、括弧内の補足から明らかなように、ｘがすべての実数であること、ですよね

誤解です。

複素関数はすべて級数によって定義されテーラー展開によって

e^z=1 + z/1！+ z＾2/2！+ z＾3/3！+ ・・・(z=x+iy)

がなり立ちます。複素関数論を勉強してください。

なお

＞世界一美しい式について　ｅ＾(iπ)＝－1

くだらない感傷だと思います。

世界一美しい式について ｅ＾(iπ)＝－1

No.5

この回答への補足

>(1)式が表していることは、括弧内の補足から明らかなように、ｘがすべての実数であること、ですよね。

ｅ＾ｘ＝1 + ｘ/1！+ ｘ＾2/2！+ ｘ＾3/3！+ ・・・・（－∞＜ｘ＜∞） →(1)式とする

ちなみに、個人的にはe^(-iπ)+1=0の方が美しいです。

今私たちの目にしているオイラーの公式などの説明は、当時と違います。

（自分 ニュートン別冊 『”ありもしない”のに難問解決に不可欠な数 虚数がよくわかる』なんて持ってますので実質受け売りです）

>(1)式が表していることは、括弧内の補足から明らかなように、ｘがすべての実数であること、ですよね

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

世界一美しい式について　ｅ＾(iπ)＝－1

（自分　ニュートン別冊　『”ありもしない”のに難問解決に不可欠な数　虚数がよくわかる』なんて持ってますので実質受け売りです）