No.1
- 回答日時:
αβ=2√2(cos345°+isin345°)
でこれを図に描きます。
|z-αβ|=rは
αβ中心で半径rの円であるわけですが
さて、この円上のzについて、
偏角が最大,最小になるzはどこでしょう。
描けばすぐにわかることですが
この円に二本の接線を引いたときの
接点がそれぞれ最大値と最小値
あとは四角形の問題。
原点をo,接点をa,b,円Cの中心をcすると
角oac,角oabは90°
角aobは120°
よってbcaは60°だから・・・・
ここまでくればさほど苦労はしないでしょう
No.2
- 回答日時:
#1です。
abって問題に使われてたから使ってはいけなかった(汗)
まぁいいや(爆)
ちょっと見方が違った。
四角形ですが
三角形obcと三角形oacが合同(三辺等しい)であるから
角boc=角aoc=1/2角boa=60°
よってこの二つの合同な三角形は
90°,60°,30°の角を持つ。
ところで
oc=2√2であったから
偏角の小さい方aの示す値は
偏角345°-30=315
原点からの距離は2√2cos30°=√6
よって
z=√6(cos315°+isin315°)
=√3-√3i
No.3
- 回答日時:
問題が間違っていなければ
α=2(cos150°+isin150°) で
αβ=2√2(cos465°+isin465°)=2√2(cos105°+isin105°)
が中心となります。
偏角の差が120°ということは前後60°ずつ
ということで45°から165°の直線の間にあるということです。
円を描いて中心と原点および接点を結べば
60°,30°,90°の直角三角形ですから
(しかも原点から中心までの距離は2√2)
半径や偏角最小のz(接点)の位置はすぐ求まるでしょう。
No.4
- 回答日時:
回答はもう別の方がなさっているので、
問題についてちょっと思ったことを・・・
この問題ってrの値が2√2sin15°より小さいときは
偏角の最大値と最小値の差が~度って使えるけど、
実際にrの値求めると、
円CはX軸と重なるような値だから、
偏角の最大値はなし、
最小値は0度ってことになると思う。
問題作成者はちゃんとX軸のこと考慮しろよ!、
と思いました。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
まず、なぜ極形式で表す必要があるのでしょうか。
解答の見通しもなく、単に知っている公式を使ってみた...というだけでは問題は解けません。
なお、α=2(cos150°+i sin150°)ですね。
αβ=(1-√3)+i(1+√3)なので、zは、点(1-√3, 1+√3)を中心とする半径rの円周(円C)の上を動く。(以下は図を書きながら考えてください。)
原点とαβとの距離は2√2でであり、また、0<r≦2√2なので、zの偏角が最小及び最大になるのは、原点から円Cに接線を引いたときの接点の場合である(接点は2つあるが、一方が最小になる場合、もう一方が最大になる場合)。
今、原点をO、円の中心をC、接点をA,B(ただし、Aは左側の接点、Bは右側の接点)とすると、題意より、∠AOB=120°である。△OACと△OBCは合同だから、∠AOC=∠BOC=60°となる。すると、△OBCは、角が30°、60°、90°の直角三角形になり、OC=2√2なので、BC=OC×{(√3)/2}=√6であり、これがrである。
このときのz(つまり点B)が偏角が最小になる場合であるが、OB=√2であり、∠COB=60°なので、OBはOCを原点を中心として-60°回転させ、長さを1/2にしたものである。
よって、
OB=OC×(1/2){cos(-60°)+i sin(-60°)}
={(1-√3)+i(1+√3)}{(1/2)+i(-√3)/2}
=1+i・・・答
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