三重積分がわかりません。

次の三重積分を求めよ。

∫∫∫D xyz dxdydz D:x^2+y^2+z^2≦a^2 x≧0 y≧0 z≧0

途中式を詳しくお願いします！
解説もあれば嬉しいです…

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/05 15:38

どこがわからん?

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/07/05 15:49

極座標に置換してから積分するのが定石。

x = rsinφcosθ
y = rsinφsinθ
z = rcosθ
dxdydz = r^2sinθdrdθdφ
D:x^2+y^2+z^2≦a^22 x≧0 y≧0 z≧0 ⇒ r=0～a, θ=0～π/2, φ=0～π/2

後は、3回変数別に積分するだけになります。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/06 08:37

球座標に変数変換して積分する方法はA#2のようにして出来ますから、ここでは、xyz座標のまま積分する方法でやってみます。

a>0としておきます。

I=∫[D] xyz dxdydz
=∫[0,a]ydy∫[0,√(a^2-y^2]xdx∫[0,√(a^2-x^2-y^2)]zdz
=∫[0,a]ydy∫[0,√(a^2-y^2]xdx [(1/2)z^2][z:0,√(a^2-x^2-y^2)]
=∫[0,a]ydy∫[0,√(a^2-y^2] (1/2)x(a^2-x^2-y^2)dx
=∫[0,a]ydy [(-1/8)(a^2-x^2-y^2)^2][x:0,√(a^2-y^2]
=∫[0,a] (1/8)y(a^2-y^2)^2 dy
=[(-1/48)(a^2-y^2)^3][0,a]
=(1/48)a^6