以下の最大値原理を考えています。
有界領域Ω⊂R^2に対して実数値関数u(x)はΩの閉包Ω*で連続かつΩで連続とする。
このとき成り立つ、下の(1)(2)は同値らしいのですが、
上限と最大値は違うものなのに、何故でしょうか?
仮定のもとでuは境界で最大値をとる、というのが最大値原理と理解しています。
なぜそれが(1)のようなsupで表記できるのですか?
(1)sup[x∈Ω]u(x)=sup[x∈∂Ω]u(x)
(Ωでのuの上限は、Ωの境界∂Ωでのuの上限と等しい)
(2)max[x∈Ω*]u(x)=max[x∈∂Ω]u(x)
(Ωでのuの最大値は、Ωの境界∂Ωでのuの最大値と等しい)
どなたか解説をよろしくお願い致します。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
その前に気になるのは
「このとき成り立つ、下の(1)(2)は…」。
この部分は正しくない気がするのですが?
あと書き間違いかと思いますが(2)の意味は
(Ωの閉包Ω*でのuの最大値は、Ωの境界∂Ωでのuの最大値と等しい)
ですね。
境界∂Ωは閉なのでΩの有界性、uの連続性より
関数uを境界∂Ωに制限したものは最大値
(これをvとする)を持つことは分かるかと思います。
(これに注意すれば同値性を示すのは自力でできる/やった方がいいと思うので、
ここから下は読まなくていい/読まない方がいいです…。
自分の回答の確認に役立ててください。)
したがって関数uをΩ上に制限したものの上限がvであるとすれば、
定義より、Ωの任意の点xについてu(x)≦vですから、
vは関数uの閉包Ω*上での最大値でもあります。
逆に、関数uの閉包Ω*上での最大値vが
境界∂Ωのある点bで得られるとします。
するとuの連続性より、vに任意に近い値v-ε<vについて、
さきほどの境界上の点bに十分近いΩの点xを選ぶと
u(x)>v-εになる。
よって関数uのΩ上での上限はvなのです。
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