慣性系の変換式についての質問です。

慣性系の変換式についての質問です。
変換式の過程も含め、解説していただけませんでしょうか。

問題
ＡとＢがいて二人を結ぶ直線と平行に電車が走っている。Ａが質量ｍのボールを投げた瞬間にボールと同じ方向（ボールの水平成分方向）に電車が一定の加速度aで動き始めた。
重力加速度をg、ボールの初速をv0、仰角をθとする。

(a)S系
地上で観測されるボールの軌道。任意の時刻におけるボールの位置とボールに働いている力をx,yの座標で表したものをＳ系とする。

（b）S´系
電車の中から見た風景(1)水平方向をx´軸、鉛直上向きにy´軸をとり、S´系と呼ぶことにする。
この時、重力加速度ベクトルをgベクトル、電車の加速度ベクトルをaベクトルとする。

（c）S´´系
電車の中から見た風景(2)
重力と見かけの力とを合成し、F´´ベクトルとする。y´´軸を -F´´ベクトル方向に取り、それに垂直にx´´軸を取る。これをS´´系とする。
このとき、初速度とx´´軸との角度をθ´´とする。

質問1
S系からS´系の変換式を求める。
質問2
S´系からS´´系の変換式を求める。
質問3
S系からS´´系の変換式を求める。
質問4
S´´系からS´系の変換式を求める。
質問5
S´´系からS系の変換式を求める。

変換された後の式だけでもかまいませんので宜しくお願いいたします。

No.3 回答者： mozhand 回答日時： 2012/10/27 23:47

慣性系の変換の意味がよくわからないので，その点についても教えてください．そうすれば，やり方を示せると思います．

ただ，No2については，座標変換の根本の理解という意味で重要ですので，理解すべきでしょう．

No.2 回答者： mozhand 回答日時： 2012/10/27 23:42

大学生ですね．了解です．以下，{…}はベクトルを意味します．

まず，S系は地上に固定された座標系なので，地上に固定された原点Oと標準直交基底{ex},{ey},{ez}(それぞれx,y,z軸方向の単位ベクトル)をとります．そして，普通のボールの座標はと聞かれると{r}=(3,5,2)などと書く事がありますが，これはそもそも座標系によって異なるものであり，今の場合，{r}=3ex+5ey+2ezのことです．もし，z軸のまわりに90度回転させた座標系S""を用いれば，この成分は変わって{r""}=(5,-3,2)となります．よって，成分よりも{r}=3ex+5ey+2ezというベクトル的な認識が重要です．もうひとつ重要なことは，{r}と{r""}は成分は違いますが，同じベクトルだということです．そもそも，ベクトルというのは人間が基準(座標)を決めなくても存在するものです．したがって基準に決め方で当然数値は変わってきますが，見ているものは同じベクトルなので，数値は違えど同じものを指します．つまり，数値だけではなく，どうやって測った数値なのかを添えることが重要です．それこそが，{r}=3ex+5ey+2ezという書き方で，{ex},{ey},{ez}という3本の基底ベクトルをもとに測りました，ということを意味するわけです．

では，S'系はどうでしょう．これは電車に固定した原点O'と標準直交座標系{ex'},{ey'},{ez'}を用意します．

さて，S系から見たボールの位置{r}とS'系から見たボールの位置{r'}の関係はどうでしょうか．図を描けば用意に分かりますが，{r}={r(o')}+{r'}です．ここで，{r(o')}はS系で見たS'系の原点O'の位置です．これを基底を使って書けば
x{ex}+y{ey}+z{ez}=x(o'){ex}+y(o'){ey}+z(o'){ez}+x'{ex'}+y'{ey'}+z'{ez'}　…(1-1)
です．この両辺を時間で微分しましょう．例えば左辺は
dxdt*{ex}+dy/dt*{ey}+dz/dt*{ez}+x*d{ex}/dt+y*d{ey}/dt+z*d{ez}/dt　
となります(ベクトルの微分を忘れないでください)．
ここで，{ex},{ey},{ez}も{ex'},{ey'},{ez'}は大きさは常に1だし，向きも変わりません(なぜならば，S系は静止系だし，S'系も直線運動しているだけだからです)．よって，これらの時間微分は0なので，結局(1-1)式の両辺を2回微分すると
d^2x/dt^2*{ex}+d^2y/dt^2*{ey}+d^2z/dt^2*{ez}=d^2x(o')/dt^2{ex}+d^2y(o')/dt^2*{ey}+d^2z(o')/dt^2*{ez}+d^2x'/dt^2*{ex'}+d^2y'dt^2*{ey'}+d^2z'/dt^2*{ez'}　…(1-2)
となります．そして，今，電車がx軸方向に加速度aで走っているものとすると，
d^2x(o')/dt^2=a
d^2y(o’)/dt^2= d^2z(o’)/dt^2=0
ですから，(1-2)に代入して
d^2x/dt^2*{ex}+d^2y/dt^2*{ey}+d^2z/dt^2*{ez}=a{ex}+d^2x'/dt^2*{ex'}+d^2y'dt^2*{ey'}+d^2z'/dt^2*{ez'}　…(1-3)
この両辺をまた{r}を用いた表記に直します．(1-3)の左辺は{ex}などを基準にして測ったボールの位置座標x,y,zの2回微分を成分とするS系のベクトルなのでd^2{r}/dt^2です．右辺の第2～4項は{ex’}などを基準にして測ったボールの位置座標x’,y’,z’の2回微分を成分とするS’系のベクトルなのでd^2{r’}/dt^2です．また，{a}=a{ex}+0{ey}+0{ez}はS系から見た原点O’の加速度ベクトルなのでこれらを代入して
d^2{r}/dt^2={a}+d^2{r’}/dt^2　…(1-4)
です．さて，慣性系たるS系から見たボールの各座標の変化は運動方程式はニュートンの第二法則よりmd^2{r}/dt^2={F}で書けますので，(1-4)に代入して
F =m{a}+md^2{r’}/dt^2
となります．これから，S’系から見たボールの位置の変化は
md^2{r’}/dt^2=F-m{a}　…(1-5)
とかけることが分かります(右辺第二項こそが，高校で学んだであろう慣性力です)．

慣性系たるS系から見たボールの運動方程式は具体的には
md^2(x{ex}+y{ey}+z{ez})/dt^2=0{ex}+0{ey}-mg{ez}
です．そしてこの左辺の計算結果は(1-3)式のように
d^2x/dt^2*{ex}+d^2y/dt^2*{ey}+d^2z/dt^2*{ez}
なので，
d^2x/dt^2*{ex}+d^2y/dt^2*{ey}+d^2z/dt^2*{ez}=0{ex}+0{ey}-mg{ez}
となります．同じベクトルの係数どうしが等しくなければ成り立たないので
d^2x/dt^2=0　かつ　d^2y/dt^2=0　かつ　d^2z/dt^2=-mg
です．よって，
x=At+B, y=Ct+D, z=-(mg/2)t^2+Et+F
vx=A, vy=C, vz=-mgt+E
です．Aが電車の内外どこにいるのかわからないのでこれ以上は議論を進められませんが，その値をt=0ともにvx,vy,vzに代入し，またS系から見た初期の位置をt=0とともにx,y,zに代入すればA,Bなどが求まります．同様のことを(1-5)式を用いてS’系にもやってやれば，xとx’などの関係が求まります．

慣性系の変換式というのがよくわかりませんが，以上のようにすればS’’系でもできます．図を描いてベクトルを矢印で表すとよくわかります．文字数的にも後がないのでとりあえずはここまでとします．

わからないことは追って質問してください．

No.1 回答者： mozhand 回答日時： 2012/10/27 22:28

高校生ですか，大学生ですか．これにより解説の程度が変わってきますのでお答えください．

この回答への補足

大学生です。
どうか宜しくお願い致します。

補足日時：2012/10/27 22:36