No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ベクトル記号省略します。
3OP=2AP+PB
=2(OP-OA)+OB-OP
=OP-2OA+OB
2OP=-2OA+OB
OP=-OA+1/2OB
点Gは△ABCの重心だから、
OG=1/3OA+1/3OB+1/3OC
△OGPに注目。
線分GPをt:1-tに内分する点をQとすると、内分の公式より
OQ=tOP+(1-t)OG
=-tOA+t/2OB+(1-t)/3OA+(1-t)/3OB+(1-t)/3OC
=(1/3-4t/3)OA+(1/3+t/6)OB+(1/3-t/3)OC
点Qは平面OBC上にあるから、OAの係数について、
1/3-4t/3=0が成り立つ。
これより、t=1/4
これを上のOQ=に代入すると、
∴OQ=3/8OB+1/4OC
OA=a、OB=b、OC=cにそれぞれ置き換えてください。
No.3
- 回答日時:
s,t,uをそれぞれ実数とする。
点Qは線分GP上にあるので、→OQ=→OP+s→PG・・・(1)
点Qは面OBC上にあるので、→OQ=t→b+u→c・・・(2)
が成り立つ。そこで、→OP、→PGを→a,→b,→cで
表すと
→AP=→OP-→OA=→OP-→a
→PB=→OB-→OP=→b-→OP
これを条件式に代入して
3→OP=2→AP+→PB=2→OP-2→a+→b-→OP=→OP-2→a+→bから
→OP=-→a+(1/2)→b、よって
→AP=→OP-→a=-2→a+(1/2)→b
→PB=→b-→OP=→a+(1/2)→b
重心の定義から点GはAからBCに下ろした垂線を2:1に内分する
ので、→AP+→PG=→AG=(2/3){→AB+(1/2)→BC}
=(2/3){→b-→a+(1/2)(→c-→b)}
=-(2/3)→a+(1/3)→c+(1/3)→b、よって
→PG=-(2/3)→a+(1/3)→c+(1/3)→b-→AP
=-(2/3)→a+(1/3)→c+(1/3)→b+2→a-(1/2)→b
=(4/3)→a+(1/3)→c-(1/6)→b
よって(1)は
→OQ=-→a+(1/2)→b+s{(4/3)→a+(1/3)→c-(1/6)→b}
=(4s/3-1)→a+(1/2-s/6)→b+(s/3)→c
→a、→b、→cの係数を(2)の右辺と比較して
(4s/3-1)=0、(1/2-s/6)=t、(s/3)=u
s=3/4からt=1/2-1/8=3/8、u=(3/4)/3=1/4
以上から→OQ=(3/8)→b+(1/4)→c・・・答え
No.2
- 回答日時:
>正四面体ABCDに対して、3点O、A、Bと同じ平面状の点Pが3→OP=2→AP+→PBを満たす。
> →OA=→a、→OB=→b、→OC=→cとおくとき、以下の問いに答えよ。
>△ABCの重心Gと点Pを結ぶ線分が、面OBCと交わる点をQとする。→OQを→a、→b、→cで表せ。
正四面体OABCとします。
3OP=2AP+PBより、
3OP=2(OP-OA)+(OB-OP)
2OP=-2OA+OB
OP=-OA+(1/2)OB=-a+(1/2)b
△ABCで、BCの中点をMとすると、AM=(1/2)AB+(1/2)ACより、
OM-OA=(1/2)(OB-OA)+(1/2)(OC-OA)
OM=(1/2)(bーa)+(1/2)(c-a)+a
=(1/2)b+(1/2)c
△ABCの重心Gだから、
AG=(2/3)AMより、
OG-OA=(2/3)(OM-OA)
OG=(2/3)OM-(2/3)OA+OA
=(1/3)a+(2/3)・{(1/2)b+(1/2)c}
=(1/3)a+(1/3)b+(1/3)c
△OBCで、OQとBCの交点をRとする。
BR:RC=t:(1-t)とすると、
OR=(1-t)OB+tOC=(1-t)b+tc
O,Q,Rは一直線上にあるから、OQ=kORとおけるから、
OQ=k{(1-t)b+tc}
=k(1-t)・b+kt・c ……(1)
G,P,Qは、一直線上にあるから、GQ=mGPとおけるから、
OQ-OG=mOP-mOG
OQ=(1-m)OG+mOP
=(1-m)・{(1/3)a+(1/3)b+(1/3)c}+m・{-a+(1/2)b}
={1/3ー(4/3)m}a+{1/3+(1/6)m}b+{1/3-(1/3)m}c ……(2)
(1)(2)を係数比較すると、
1/3ー(4/3)m=0,1/3+(1/6)m=k(1-t),1/3-(1/3)m=kt
連立方程式で解くと、m=1/4,k=5/8,t=2/5
(1)か(2)に代入して、
よって、OQ=(3/8)b+(1/4)c
計算を確認してみてください。
正四面体OABCとしましたが、問題が違っていたら教えてください。
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