累次積分∮∮(D)sinx^2dxdy

累次積分∮∮(D)sinx^2dxdy
D:{y≦x≦1,0≦y≦1}
の積分順序を変更し、その値を求めよ。(書き込みが見やすいように範囲の条件式を書きました。xから積分します。)

という問題があります。

積分順序を変更すると
∮∮(D)sinx^2dxdy
D:{0≦x≦1,0≦y≦x}
(yから積分。)
となり、ここまではあっていましたが、sinx^2がどうしたら積分出来るのかわかりません。
sin^2xなら2倍角の公式を用いれば解くことができると思いますが、sin^2xとsinx^2は別物ですよね？

解答では
(1/2)*(1-cos1)
となっています。

この答えの導きを詳しくお願いしたいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： misumiss 回答日時： 2012/11/26 05:59

積分順序が変更されていることを, 忘れていませんか。

被積分関数は xsinx^2 で, これを x = 0 から x = 1 まで積分します。

この回答へのお礼

お礼遅くなり申し訳ないです！
できました！
ありがとうございます！！

お礼日時：2012/12/01 13:43

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/11/26 18:55

ｙから積分すると，

∫_0^1dx∫_0^xdysinx^2

=∫_0^1dxxsinx^2

となりますが，(cosx^2)'=-sinx^2・2xであることを思い出すと，xsinx^2の不定積分は(-1/2)cosx^2です．よって

∫_0^1dxxsinx^2

=[(-1/2)cosx^2]_0^1

=(-1/2)cos1-(-1/2)cos0

=(1/2)(1-cos1)

となります．

この回答へのお礼

お礼遅くなり申し訳ないです！
できました！
ありがとうございます！！

お礼日時：2012/12/01 13:42

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/11/26 09:42

>この答えの導きを詳しくお願い

詳しく書くと以下のようになります。

重積分∬(D)sin(x^2)dxdy, D:{0≦x≦1,0≦y≦x}
を累次積分で表すと
I=∫[0→1] dx∫[0→x] sin(x^2)dy
yで積分する際はsin(x^2)は定数とみなせるのでyの積分の外に出せて
I=∫[0→1] sin(x^2)dx∫[0→x] dy
=∫[0→1] sin(x^2)dx [y] [0→x]
=∫[0→1] sin(x^2)dx [x-0]
=∫[0→1] sin(x^2) xdx
x^2=tとおくと 2xdx=dt, xdx=(1/2)dt, x:0→1はt:0→1 となるので

I=∫[0→1] sin(t)(1/2)dt
=(1/2)∫[0→1] sin(t)dt
=(1/2)[-cos(t)][0→1]
=(1/2){1-cos(1)}

この回答へのお礼

お礼遅くなり申し訳ないです！
できました！
ありがとうございます！！

お礼日時：2012/12/01 13:43