行列Aを直交行列にする

行列A=
1/√3　　1/√3　　1/√3
1/√2　　　0　　　-1/√2
　 X 　　　 Y 　　 　　Z
が直交行列となるようなX、Y、Zを求める問題です。
tA=A^-1になればいいのは分かりますが答えを見ると、
いきなり
A・tA=
1/√3　　1/√3　　1/√3　　　　1/√3　　1/√2　　X
1/√2　 　0　　　 -1/√2　　　　　1/√3　　　0　　　　Y　
X　　　　　　Y　　　　Z　　 　 　　 　1/√3　　-1/√2　　Z
=1
を解いてX、Y、Zを求めてます(^_^;)
やってることは分かりますがtAがなんでいきなりそうなるかわかりません。
tAは直交行列にするため各ベクトルを正規直交化しなければいけませんよね？
教えてくださいm(_ _)m
わかりにくかったらすいません

No.4 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/27 08:58

>やってることは分かりますがtAがなんでいきなりそうなるかわかりません。

「やってること」は、A とその転置 tA の積が単位行列になるような {X, Y, Z} の存否確認、みたいです。

tA は行列転置でしょうね。直交行列の一性質に沿った展開なのでしょう。
既知部分は辻褄あわせされていそう。
連立の式個数も OK そう。

至れり尽くせりです。
　　

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/28 13:36

tA = A^-1 と、

A・tA = 1 (右辺の 1 は、単位行列) と、
A の各列が正規直交 と、
A の各列が正規直交 とは同値…というか、
同一内容の式面を書き換えただけですよ。

だから、一番チャラい計算法としては、
A の第一行、第二行の外積を p として
(X,Y,Z) = p/|p| とすればいいんだけど。

実際やってみると、上記の計算は、
質問文中の A・tA = 1 を、(X,Y,Z) = s(x,y,z)
で置換して x,y,z の一次方程式に翻訳し、
クラメルの公式で解く算式と同一 になります。

No.3 回答者： mazoo 回答日時： 2012/12/27 06:16

「Aが直行行列である、すなわちtA=A^(-1)であること」

と
「Aの列(または行)ベクトルが正規直交基底をなすこと」
は同値です。

Aを列ベクトルa_1からa_nで表して(A=(a_1 a_2 … a_n))、
実際にtAAを計算することで証明できます。
(tAAの各成分はa_iの内積を使って表示できます)

Aの列ベクトルが正規直交基底をなすことを持ってAを直交行列と定義してもかまいません。
その場合、tA=A^(-1)は直交行列の1つの性質となります。

No.2 回答者： misumiss 回答日時： 2012/12/27 03:15

下から6行目に, = 1, とかかれていますが, 1 とは何かの群の単位元ですか.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/26 23:35

tA ってなんですか?