複素積分

ちょっとグリーン関数を勉強していて、複素積分を忘れてしまった部分があるので教えてください。

∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/k dk=iπ
の計算過程です。

お願いします。

No.12 回答者： Water_5 回答日時： 2013/01/16 11:29

それは、正しいと言うのか？

あやマリと言うのか？

数学的には正しくないが、物理的には正しいと言うのか？
ならば、定理を作って数学的に正しいことを証明してやればよいのです。

No.11 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 22:48

くどいようだが、確認。

発散積分の主値は、ある一定の計算手順を設定すると、
収束しない積分から一つの値を取り出すことができる
場合もある…という話に過ぎない。
その計算手順の結果が定まることを「主値が収束する」と言うが、
主値が収束したとしても、積分自体が発散することに変わりはない。
主値は、積分の値ではないからだ。
その点の誤解を避けるために、「主値積分」ではなく「発散積分の主値」
と呼んだほうが安全であることは、既に述べた。
そういったことをある程度理解した上で、問題の式の意味を
質問氏自身がちゃんと把握して扱うのならば、
A No.4 でもよいのだけれど…
とにかく何らかの式変形ができれば、それが数学的に
正しくなくても構わない…という物理学の姿勢は、問題だと思う。
だから、物理学上の数式処理のことを「物理数学」と
呼ぶことには、あまり賛成でない。
それが数学的に 厳密でない 場合には、特に。

No.10 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/15 20:12

ANo.8です．本文でも若干断りましたが，これはあくまで物理志向の議論です．おそらく理論物理をやっている人のコメントがあったのであえて補足の意味で数学的には形式的（厳密ではない）に紹介しました．質問者様が満足されなければ読む必要はありません．

ANo.9さんのおっっしゃることももっともです．

繰り返しになりますが，今の段階では数学的には収束する主値積分ということで，ANo.4(5)のような計算をするべきだということです．

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 19:12

A No.8 の方には、他の質問でも指摘したと思うが、

∫[-∞～∞]lim[ε→0]{exp(ikr)/(k+iε)}dk = lim[ε→0]∫[-∞～∞]{exp(ikr)/(k+iε)}dk
という計算は、∫ と lim という二つの極限操作の順序を交換しており、
収束の一様性を示した上でないと、無意味だ。
計算の根拠を蔑ろにして、「物理ではこうする」というのでは、もはや数学ではない。

No.8 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/15 18:31

ANo.4,5です．ANo.6さんの挙げてある公式

（☆）1/(k+i0)=P.V.(1/k)-iπδ(k)

を使うのなら話は簡単です．

0=∫[-∞～∞](exp(ikr)/(k+i0))dk←積分路を実軸の上にとるからCauchyの積分定理より0

=P.V.∫[-∞～∞](exp(ikr)/k)dk-iπ∫[-∞～∞]δ(k)exp(ikr)dk←公式（☆）

=P.V.∫[-∞～∞](exp(ikr)/k)dk-iπ←δ関数の性質

よって

P.V.∫[-∞～∞](exp(ikr)/k)dk=iπ

です．

☆の初等的な理解は次のようにするといいと思います．
まずε正の数として

1/(k+iε)=(k-iε)/{(k+iε)(k-iε)}=(k-iε)/(k^2+ε^2)

=k/(k^2+ε^2)-iε/(k^2+ε^2)

この第1項はε→+0で1/kになりますが，これを連続関数f(k)をかけて積分すると

∫_[-∞,∞]{k/(k^2+ε^2)}f(k)dk

=∫_[(-∞,-δ]∪[δ,∞)]{k/(k^2+ε^2)}f(k)dk

+∫_[-δ,δ]{k/(k^2+ε^2)}f(k)dk

ここでδはεより大きいけれどもεとともに0に近づくとすれば

∫_[-∞,∞]{k/(k^2+ε^2)}f(k)dk

≒∫_[(-∞,-δ]∪[δ,∞)](1/k)f(k)dk

+f(0)∫_[-δ,δ]{k/(k^2+ε^2)}dk

第1項は主値，第2項は奇関数の[-δ,δ]の積分だから0になり，結局第一項は

P.V.∫_[-∞,∞](1/k)f(k)dk

となります．

次に第二項をπで割ったものをδ_ε(k)とかくと，

lim_{ε→+0}δ_ε(k)=lim_{ε→+0}ε/{π(k^2+ε^2)}

=lim_{ε→+0}1/(πε)→∞(k=0),ε/{π(k^2+ε^2)}→0(k≠0)

となり，さらに

∫_[-∞,∞]δ_ε(k)dk=(1/π)∫_[-∞,∞]{ε/(k^2+ε^2)}dk

=(1/π)∫_[-∞,∞]{1/(k/ε)^2+1)}d(k/ε)=(1/π)[Arctan(k/ε)]_[-∞,∞]

=(1/π){π/2-(-π/2)}=1

となり，lim_{ε→+0}δ_ε(k)はδ関数の要件を満たします．

したがってε→+0のときのεを0とかいて

1/(k+i0)=P.V.1/k-iδ(k)

となります．

☆は量子力学など物理数学の計算でよくでてくるものです．だから，物理数学になじみがなく，かつ数学にうるさい環境では使うのはやめた方がいいと思います．ANo.6さんのような方なら理解してもらえるかもしれません．

ということで，時間はかかりますが，No.4またはNo.5のように主値積分を数学的に厳密に複素積分で計算するのみです．こうした計算を十分やった後なら☆を使うのもいいでしょう．

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 18:27

複素積分の復習として、

No.2 の収束と No.4 の収束は、別個の話であり、
どちらがどちらの必要条件でも十分条件でもない
ことは確認しておくとよいかもしれない。
その辺が曖昧なまま、徒に複素積分を弄するのは
危うい。

∫_[-∞～∞] (1/x^2) sin(1/x) dx は、
広義積分は発散、主値は 0 に収束するが、
No.2 の論法が使えない例。

∫_[-∞～∞] exp( -(Arg x)^2 ) dx は、
広義積分も、主値も発散するが、
No.2 の論法では 0 に収束してしまう例。

尚、発散積分の主値を「主値積分」と呼んでしまうのは、
あらぬ拡大解釈のモトだから、よしたほうが無難だ。

No.6 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/15 12:10

No.2 の siegmund です．

すみません，ちょっと惚けていたようで間違えました．
上方下方と角度が合っていません．
以下のように訂正します．

-----------------------

複素積分という観点からするなら，
積分路は実軸に沿って -∞ から +∞ ですが，
極になっている原点(k=0)をどちらに避けるかを
指定しないといけません．
この結果は原点を複素平面の上方に回避しています．
回避の仕方を半径 ε の円(ε → 0)に沿うものとしますと，
k = ε e^(iθ) で，θがπから 0 まで動くことになります．
k についての積分をθで書き換えればよいでしょう．

同じことですが，分母の k を k + iε と思って置く手もあります．

-----------------------

もとはεでなくδと書いていたのですが，
後の都合でεにしました(δ関数が出てくるので)．

詳細な計算は ereserve67 さんが書いておられるので．
そちらをご参照下さい．

なお，しばしば記号的(超関数的に)
1/(k+iδ) = P - ｉπδ(k)
と書きます．
P は積分の主値をとる意味，δ(k) はデルタ関数．
今の問題で言いますと，
∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/(k+iε）dk
= ∫_[-∞～-ε] {exp(ikr)}/k dk
　　+ ∫_[ε～∞] {exp(ikr)}/k dk
　　- iπ
ということになります．
右辺第１項と第２項が主値積分で，第３項がデルタ関数から来る項です．
exp(ikr) を cos(kr) と i sin(kr) に分解したときに，
cos(kr) の方の積分は主値をとればゼロになります．
sin(kr) の方は No.4 の最後で ereserve67 さんが書かれています．

No.3 で alice_44 さんが書かれていることは
純粋に質問の式だけ見ればおっしゃるとおりです．
ただし，グリーン関数の話で質問の式が出てきているだとすると，
境界条件との関連で k に正の虚数部が入っていて，
k+iεと解釈すべき状況になっているものと思われます．
この状況と原点を上方に避けるのは同じことです．
No.2 で書いたのはそういう意味です
(そのあと，ちょっと間違いがありましたが)．
ereserve67 さんのご解答も同じ立場でしょう．

No.5 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/15 08:32

ANo.4です．1か所タイプミスがありました．修正版です．

r>0と仮定します．

I=∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/k dk

とおきます．これはk=0の特異点が積分路に含まれているので主値積分と解釈すれば収束します．

I=P.V.∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/k dk

つまりεを小さな正の数，Rを大きな正の数として

(★)I(ε,R)=∫[-R～-ε]{exp(ikr)/k}dk+∫[ε～R]{exp(ikr)/k}dk

として

（☆）I=lim_{ε→+0,R→∞}I(ε,R)

とするわけです．さて，

I(ε,R)=∲_C{exp(ikr)/k}dk-∫_{C(R)}{exp(ikr)/k}dk-∫_{C(ε)}{exp(ikr)/k}dk

I=lim_{ε→+0,R→∞}I(ε,R)

=lim_{ε→+0,R→∞}∲_C{exp(ikr)/k}dk
-lim_{R→∞}∫_{C(R)}{exp(ikr)/k}dk
-lim_{ε→+0}_{C(ε)}{exp(ikr)/k}dk

となります．ここで各積分路は

C={実軸上の-R～-εおよびε～R}∪C(ε)∪C(R)
C(ε)={k=εe^{iθ},π≧θ≧0}
C(R)={k=Re^{iθ},0≦θ≦π}

です（図を描いてください）．

まずC上およびその内部でexp(ikr)/kは正則だからCauchyの積分定理より

(1)∲_C{exp(ikr)/k}dk=0

次にC(R)上の積分について

e^{ikr}/k=e^{iRe^{iθ}ｒ}/(Re^{iθ})=e^{irR(cosθ+isinθ)}/(Re^{iRθ})
=e^{irRcosθ}e^{-rRsinθ}/(Re^{iRθ})

|e^{ikr}/k|=e^{-ｒRsinθ}/R

|dk|=Rdθ

だから

|∫_{C(R)}{e^{ikr}/k}dk|≦|∫_{C(R)}|e^{ikr}/k||dk|=∫[0～π](e^{-rRsinθ}/R)Rdθ=∫[0～π]e^{-rRsinθ}dθ

=∫[0～π/2]e^{-rRsinθ}dθ+∫[π/2～π]e^{-rRsinθ}dθ

=∫[0～π/2]e^{-rRsinθ}dθ-∫[π/2～0]e^{-rRsin(π-θ)}d(π-θ)

=2∫[0～π/2]e^{-rRsinθ}dθ<2∫[0～π/2]e^{-2rRθ/π}dθ

=2[e^{-2rRθ/π}/(-2rR/π)]_[0～π/2]={π/(rR)}(1-e^{-rR})→0(R→∞)

これはJordanの定理として有名で一般化されています（ポイントは不等式「sinθ≧2θ/π(0≦θ≦π/2)」）．すなわち

(2)lim_{R→∞}∫_{C(R)}{e^{ikr}/k}dk=0

最後にC(ε)についての積分です．まずLaurent展開

exp(ikr)/k=1/k+Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!

から

I_{C(ε)}=∫_{C(ε)}(dk/k)+∫_{C(ε)}Σ_{n=1}{(ik)^nk^{n-1}/n!}dk

第1項についてdk/k=εe^{iθ}idθ/(εe^{iθ})=idθより

∫_{C(ε)}(dk/k)=∫[π～0]idθ=-iπ

第2項についてC(ε)上で|k|=ε<1（後にε→0とするから）だから

|Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!)|≦Σ_{n=1}(r^n|k|^{n-1}/n!)<Σ_{n=1}(r^n/n!)=e^r-1

∴|∫_{C(ε)}Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!)dz|≦∫_{C(ε)}|Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!)||dk|
<∫_{C(ε)}(e^r-1)εdθ=(e^r-1)πε→0(ε→0)

これも一般に正則な関数なら0に近づきます．よって

(3)lim_{ε→0}∫_{C(ε)}{exp(ikr)/k}=-iπ


こうして(1)，(2)，(3)を☆に代入すれば

I=0-0-(-iπ)=iπ

No.4 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/15 07:12

複素積分のよい復習になるでしょう．詳しくは教科書で確認してください．

r>0と仮定します．

I=∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/k dk

とおきます．これはk=0の特異点が積分路に含まれているので主値積分と解釈します．つまりεを小さな正の数，Rを大きな正の数として

(★)I(ε,R)=∫[-R～-ε]{exp(ikr)/k}dk+∫[ε～R]{exp(ikr)/k}dk

として

I(ε,R)=∲_C{exp(ikr)/k}dk-∫_{C(R)}{exp(ikr)/k}dk-∫_{C(ε)}{exp(ikr)/k}dk

（☆）I=lim_{ε→+0,R→∞}I(ε,R)

=lim_{ε→+0,R→∞}∲_C{exp(ikr)/k}dk
-lim_{R→∞}∫_{C(R)}{exp(ikr)/k}dk
-lim_{ε→+0}_{C(ε)}{exp(ikr)/k}dk

となります．ここで各積分路は

C={実軸上の-R～-εおよびε～R}∪C(ε)∪C(R)
C(ε)={k=εe^{iθ},π≧θ≧0}
C(R)={k=Re^{iθ},0≦θ≦π}

です（図を描いてください）．

まずC上およびその内部でexp(ikr)/kは正則だからCauchyの積分定理より

(1)∲_C{exp(ikr)/k}dk=0

次にC(R)上の積分について|e^{ikr}/k|=|e^{iRe^{iθ}ｒ}/Re^{iθ}|=e^{-ｒRsinθ}/R<1/R,|dk|=Rdθだから

|∫_{C(R)}{e^{ikr}/k}dk|≦∫[0～π](e^{-rRsinθ}/R)Rdθ=∫[0～π]e^{-rRsinθ}dθ
<∫[0～π/2]e^{-rRsinθ}dθ+∫[π/2～π]e^{-rRsinθ}dθ
=∫[0～π/2]e^{-rRsinθ}dθ-∫[π/2～0]e^{-rRsin(π-θ)}d(π-θ)
=2∫[0～π/2]e^{-rRsinθ}dθ<2∫[0～π/2]e^{-rR2θ/π}dθ
=2[e^{-2rRθ/π}/(-2rR/π)][0～π/2]=(π/rR)(1-e^{-rR})→0(R→∞)

これはJordanの定理として有名で一般化されています（ポイントは不等式「sinθ≧2θ/π(0≦θ≦π/2)」）．すなわち

(2)lim_{R→∞}∫_{C(R)}{e^{ikr}/k}dk=0

最後にC(ε)についての積分です．まずLaurent展開

exp(ikr)/k=1/k+Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!

から

I_{C(ε)}=∫_{C(ε)}(dk/k)+∫_{C(ε)}Σ_{n=1}{(ik)^nk^{n-1}/n!}dk

第1項についてdk/k=εe^{iθ}idθ/(εe^{iθ})=idθより

∫_{C(ε)}(dk/k)=∫[π～0]idθ=-iπ

第2項についてC(ε)上で|k|=ε<1（後にε→0とするから）だから

|Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!)|≦Σ_{n=1}(r^n|k|^{n-1}/n!)<Σ_{n=1}(r^n/n!)=e^r-1

∴|∫_{C(ε)}Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!)dz|≦∫_{C(ε)}|Σ_{n=1}(ir)^nk^{n-1}/n!)||dk|
<∫_{C(ε)}(e^r-1)εdθ=(e^r-1)πε→0(ε→0)

（第2項は一般に正則な関数なら0に近づきます）よって

(3)lim_{ε→0}∫_{C(ε)}{exp(ikr)/k}=-iπ


こうして(1)，(2)，(3)を☆に代入すれば

I=0-0-(-iπ)=iπ

※なお★は次のように書き直せます．

I(ε,R)=∫[R～ε]{exp(-ikr)/(-k)}d(-k)+∫[ε～R]{exp(ikr)/k}dk

=-∫[ε～R]{exp(-ikr)/k}dk+∫[ε～R]{exp(ikr)/k}dk

=∫[ε～R]{exp(ikr)-exp(-ikr)/k}dk=∫[ε～R]{2isin(kr)/k}dk

=2i∫[ε～R]{sin(kr)/k}dk

よって

2i∫[0～∞]{sin(kr)/k}dk=iπ

∫[0～∞]{sin(kr)/k}dk=π/2(r>0)

これは有名積分です．これを知っているのだったら上の式変形を逆にたどるだけで証明できます．

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 02:01

収束しないモノの値が定まるワケがない。

A No.2 は、実軸とは異なる積分路での積分
を計算しており、与式とは別のモノだ。

積分路を勝手に設定してよいなら、
-∞ から来て、-iδ を経由した後、
0 の周りを 3 回転してから ∞ へ向かう
積分路を考えてもよいはずだが、
そうしないのは、何故だろうか？