旅人算

以前、同じ問題を質問された方がおられ、回等もありましたが、一部理解できない部分があったので、新たに質問させて頂きます。

問題
線路に沿った道路を、A君は分速150mの速さの自転車で走っています。A君は24分おきに電車に追いこされ、18分おきに電車とすれちがいました。電車の速さは時速何kmですか。
（電車は上り下りとも同一間隔、同一の速度で走っているものとする。）

解答
A君から見ると、すれ違う電車は追い越される電車よりも150m/分 x 2 = 300m/分だけ速く見えます。
【A君から見たすれ違う電車の速度は、A君から見た追い越される電車の速度の24/18倍】=4/3倍ですか
ら、A君から見た速度差(300m/分)は、A君から見た追い越される電車の速度の1/3倍です。
即ち、A君から見た追い越される電車の速度は、900m/分、すれ違う電車の速度は1200m/分です。
従って止まっている人から見た電車の速度は、900+150 = 1200-150 = 1050(m/分)です。
1.05 km/分 x 60分/h=63 km/hとなります。

解答おわり

質問
「A君から見たすれ違う電車の速度は、A君から見た追い越される電車の速度の24/18倍」とありますが、
なぜそう言えるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： j-mini27 回答日時： 2013/01/17 13:46

端的に言えば、最初の回答者さんの言うとおりに

Ａ君は24分おきに電車に追いこされ、18分おきに電車とすれちがったからです。


以下、詳しく述べます。
この問題ではＡ君が移動していますが（分速150mの自転車）、
単純化するためにＡ君が停止していると仮定します。

その上で、24分おきに電車に追いこされ（仮に右方向への電車とします）
　　　　　18分おきに電車とすれちがう（仮に左方向への電車とします）ことから
線路全体の長さをＸkmとした場合、
　　　　　右方向への電車はＸ／24（km/m）
　　　　　左方向への電車はＸ／18（km/m）と考えることができます。
そのため、右方向への電車と左方向への電車の速度の比率は
　　　　　　Ｘ／24：Ｘ／18　となります。
　整理するために、両方の数字に24と18をかけると
　　　　　　Ｘ／24 ⋇ 24 ⋇ 18　：　Ｘ／18 ⋇ 24 ⋇ 18
　　　　　　　　　 　　18Ｘ　：　24Ｘ　となります。
　すれ違う電車（左方向への電車）の速度は、追いこされる電車（右方向への電車）に比べて
　　24Ｘ÷18Ｘ＝24／18＝4／3
　と考えることができます。

　この速度差は、問題文中の「電車は上り下りとも同一の速度で走っている」ことと矛盾しますが
これはＡ君が停止していると仮定したためです。

　実際は、Ａ君は自転車で移動しているため、
　この移動速度の分（電車が同方向と逆方向に走るので正確には移動速度の2倍分）
　Ａ君から見た電車の速度はズレていると考えられ、このズレと上述の電車の速度差を対応させれば
電車の速度を求めることができます。　

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/01/17 16:11

こういうときは、必ず極端な例を考えてみることです。

電車の先頭を点として直線上に等間隔で印が付けてあるとしてます。
-----×---------×---------×---------×------
　そして、両方の電車が同じ速度【０】で走っ--静止し--ている場合を考えます。そうするといずれも、みかけの速さは自転車の走っている速度と同じになります。
　次に、自転車で停止して電車が移動している場合を考えると、電車はそれぞれにとってその速度で移動しているように見えます。
　では一方の電車が走っている状況を考えると、その見かけの速度は自転車の速度を加減したものになります。対向したもの加算、平行して走る電車は減算した速度になります。

　では、速度とその電車が通り過ぎる間隔を考えて見ましょう。通り過ぎる間隔は、速度と反比例していますね。
　言い換えると、見かけの速度差と通り過ぎる間隔は反比例の関係にあります。

　これは、ドップラー効果としてとても重要な法則ですからぜひ理解して置いてください。
　⇒ドップラー効果 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%83% … )

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/17 12:05

A君は「24分おきに電車に追いこされ、18分おきに電車とすれちが」うから.