重積分について教えてください。

微分積分の回答をお願いいたします。；重積分について

次の重積分を累次積分にて計算せよ、（また、積分の領域も図示せよ）

（１）∬D（x+y）dxdy,Dはy軸、ｙ＝ｘ、ｙ＝１で囲まれた部分。
（2）∬Dxydxdy,Dはｘ軸、ｙ＝√ｘ、ｘ＝1で囲まれた部分。

回答と積分の領域の図をお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/20 00:05

積分領域Dの図なら中学～高1レベルなのでご自分でお描きください。

(1)
∬_D（x+y）dxdy=∫[0,1]dy∫[0,y](x+y)dx
=∫[0,1]dy[x^2/2+xy][x:0,y]
=∫[0,1](3/2)y^2 dy

あとは高校の積分の基礎レベルなのでご自分でおやりください。

(2)
∬_D xydxdy=∫[0,1] xdx∫[0,√x]ydy
=∫[0,1] xdx[y^2/2][y:0,√x]
=∫[0,1] x(x/2)dx
=(1/2)∫[0,1] x^2 dx

あとは高校の積分の基礎レベルなのでご自分でおやりください。

この回答への補足

ありがとうございました。
回答は（1）が1/2
（2）が1/6で問題ないでしょうか。

補足日時：2013/01/20 21:47

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/22 01:13

←A No.2 補足

それで、合っています。
途中計算も補足に書けば、
そちらもコメントしますよ。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/21 00:50

No1です。

ANo1の補足について

>回答は（1）が1/2
>（2）が1/6で問題ないでしょうか。

両方ともお書きの答えで合ってるよ。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/20 02:35

(1)

図を書いて、D = { (x,y) | 0≦y≦1, 0≦x≦y } であることを見つければ、
ほぼ自動的に、∫∫_D (x+y) dxdy = ∫[0≦y≦1] { ∫[0≦x≦y] (x+y) dx } dy.

(2)
図を書いて、D = { (x,y) | 0≦y≦1, y^2≦x≦1 } であることを見つければ、
ほぼ自動的に、∫∫_D xy dxdy = ∫[0≦y≦1] { ∫[y^2≦x≦1] xy dx } dy.

積分の実行は、あまりにも簡単。(多項式の積分だから、自分でやって！)
問題は、図やね。必ず、実際に書いてみて。

この回答への補足

ありがとうございました。
回答は（1）が1/2
（2）が1/6で問題ないでしょうか。

補足日時：2013/01/20 21:46