サイコロを振り続けると

Question

一般的な6面のサイコロを振り続けていれば、いつかは『必ず』１の面が出ますか？

cozycube1 · Accepted Answer

お礼、ありがとうございます。#3です。

>「サイコロを振り続ければ、いつかは必ず１が出る」という命題は真か偽か。
という問題があったとして、この命題が偽であることを証明する式ってあるんでしょうか？

数学の式としては、おそらくないです。それは、命題を数式で書けなければ、その真偽を数式で処理して判断したり、証明したりすることができないからです。

その命題を数式化するとして、サイコロを振り続けるということを、たとえば1～6なる自然数の乱数による数列で表すことになるでしょう。乱数は規則性が表せないからこそ乱数なので、サイコロの出る目を数列で表すとしても、意味のある処理をできる数列にはなりません。

いきなり命題の偽（あるいは真）を証明しようとしても、同じ壁にぶつかります。たとえば、無理矢理に「a1=3, an+1=anという数列（n＞1）」とやっても、それが乱数による数列で成り立つことは示せそうにもありません。せいぜい、あるいは、結局、直観で「それはサイコロの乱数としてあり得る」とするしかありません。

確率が無限小だということは、個人的な直観で申し上げました。しかし、サイコロの有限回の試行のパターン数と、1が決して出ないパターン数による確率計算はできます（私以外ならorz）。それの無限大回数での極限値を求めることも可能なはずですが、数値としては0となるはずです。そして、「その0は無限小でない」とは証明できないでしょうね。こういう確率計算で試みても、命題「いつか必ず1が出る」を偽とする証明はできない感じです。

なお、「その0は無限小である」とも証明不能でしょう。「いつか必ず1が出る」を真とも言えないわけです。確率で現れる無限小は0に対して、そういう性質があります。それが、なんとも嫌な感じではあります（そのため、必要で可能ならε-δ論法を用いたりする）。

Saturn5 · Answer

「いつか」が未来永劫を指すのならばどこかで１の目が出ます。
しかし、有限時間であると出ない可能性はあります。

１０秒に１回、サイコロを振るとして、１の目が出ない確率は
１分（６回）　（５／６）＾６＝０．３３
１０分（６０回）（５／６）＾６０＝０．０００１８
１時間（３６０回））（５／６）＾３６０＝３．１×１０＾－２９

ということで、１時間もすればほぼ考えられないような低い確率となります。

garasunoringo · Answer

現実的にはまず出ますが、数学的には1億回振っても1京回振っても出ない確率はゼロではありません

cozycube1 · Answer

無限回の試行ができると考えた場合でも、1の面が出ないというパターンはあり得ます。たとえば、「何度やっても3の面だけが出続ける」ということは、サイコロの仕組みとして否定できませんから、あり得るとする必要があります。

もし、「決して起こらない」と「確率は0」とを等価だと定義するならば、「無限回の試行で、1の面が出ない確率は0でない」となります。そういう場合は、「確率は無限小」という言い方で『逃げる』ことがあるようです。

この場合の無限小とは、正の場合で言うと「0でないが、どんな数と比べても必ず、より小さい」という数のような概念です。無限大を「どんな数と比べても必ず、より大きい」とした場合の対となる概念と言えるかもしれません。

alice_44 · Answer

「確率が 0 である」ことと
「決して起こらない」ことは、違うことなんですよ。
今回の「サイコロで永遠に１が出ない確率」も、そうだし、
よく挙げられる例に、「角度で測る連続値のルーレットで、
厳密に丁度 0 が出る確率」なんてのもあります。

サイコロ n 回以内に１が出ない確率は p(n) = (5/6)^n で、
lim[n→∞]p(n) = 0。これは、無限小とかでなく、厳密に 0 
だけれども、それでも絶対に起こらないとは言いきれない。
まずめったに起こらないというだけです。

連続確率を扱うときには、この辺のことは感覚的に
解ったほうがいいんでしょうね。

ルーレットの例のほうが、感覚を掴みやすいかもしれない。
円盤に 0～360 のメモリが振ってあり、ルーレットになっています。
その出目は、1 度キザミではなく、0 度の位置から測った実数値の
角度で得られるものとします。円盤に歪みや偏りが無いとすれば、
出目が a 度～ b 度の間に含まれる確率は (b-a)/360 でしょう。
厳密に丁度 a 度がでる確率は、b = a の例にあたり、0 です。
この計算は、a が 0～360 のどれであっても成り立つので、
確率 0 の目はでない…とすると、出る目がなくなってしまいます。
ルーレットを回せば、何らかの目は出るのにね。

連続確率って、こういうものです。
慣れるしかないと思いますが。

MagicianKuma · Answer

数学の世界で確率を扱うときには、確率空間の公理から出発して様々な結論を導いていきます。このとき、実際の自然現象（サイコロを振るなどの）に関して何の言及もしません。サイコロを1回振ったとき、確率空間をΩ={1,2,3,4,5,6},F=Ωのべき集合,P({ω∈Ω})=1/6とするのは、単なる仮定です。もっと簡単に言うと、「サイコロの目はどれも同様な確からしさで出る。」とか「サイコロを連続して振るとき、それらは独立な試行。」とかは単なる仮定です。（もちろん多くの人が十分納得するであろう仮定です）でこの仮定の妥当性は数学的に証明できるものではありません。
ですが、この仮定を置くと、数学的にlim[n→∞]p(n) =1が証明されます。ただし、これをどう解釈するかは数学の範疇外です。
以下の流れです。
(1)自然現象を確率論的に考察したい→確率モデルを仮定する。その確率モデルが妥当かどうかは数学の範疇外です。証明できるものではありません。
(2)確率モデルから数学的に導き出された（つまり証明された）いろいろな結論がでる。これは数学です。
(3)その結論を解釈する。例えば確率0になったから、実際の自然現象でもそれは決して起きない。これは解釈です。数学の範疇外です。この解釈が正しいかどうか証明できる事ではない。

ですから、私自身がどう答えるかといえば、
(1)「サイコロの目はどれも同様な確からしさで出る。」し「サイコロを連続して振るとき、それらは独立な試行。」は妥当なモデル化です。
(2)なので、「そのモデルに従えば、数学でlim[n→∞]p(n)=1が導き出せる。」
(3)なので、「サイコロを振り続けるといつかは1の目が出る。」と考えて良い。

jmh · Answer

それは、「どういう」サイコロなんでしたっけ？

参考URL：https://www.google.co.jp/search?q=%E5%9B%9B%E4%BA%94%E5%85%AD%E8%B3%BD

サイコロを振り続けると

「いつか」が未来永劫を指すのならばどこかで１の目が出ます。

現実的にはまず出ますが、数学的には1億回振っても1京回振っても出ない確率はゼロではありません

無限回の試行ができると考えた場合でも、1の面が出ないというパターンはあり得ます。

お礼、ありがとうございます。

「確率が 0 である」ことと

数学の世界で確率を扱うときには、確率空間の公理から出発して様々な結論を導いていきます。

それは、「どういう」サイコロなんでしたっけ？

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

　無限回の試行ができると考えた場合でも、1の面が出ないというパターンはあり得ます。

　お礼、ありがとうございます。