サイコロ確率

Question

3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積が10の倍数である確率を求めよ
という問題が解けません。今年大学受験なのですが、確率の問題が、全くわかりません。解き方を教えて下さい。

gomagoma427 · Accepted Answer

数学から大分離れているので、正解できる自信はあまりありませんが・・・

全ての目の出方は６ｘ６ｘ６通りです。

出る目の積が１０の倍数になるためには、３つの目の中に必ず５と偶数がひとつずつ含まれていれば良いことになります。

例えば、

５、２、３なら積は３０で確かに１０の倍数です。
５、４、３でも積は６０で１０の倍数であり、
５、６、３でも積は９０で１０の倍数です。

今は３つめを全て３にしましたが、別にここはなんでも良いです。たとえば

５、２、５　のように５がふたつ入っていても５０となって１０の倍数ですし、

５，２，４　のように偶数がふたつ入っていても４０となって１０の倍数です。

とにかく３つの目のうち、ひとつが５で、もうひとつが偶数であればよいのです。
その場合の数を考えてみましょう。

ここで、３つのうち少なくともひとつの目が５である事象をＡとします。
３つのうち少なくともひとつの目が偶数である事象をＢとします。

ここで注意するのは、Ａは５の目がひとつだけしかないというわけではなく、５が二つあってもいいし、三つとも５でもかまいません。
Ｂも同様で、ひとつだけしか偶数がなくてはいけないということではありません。

そうすると、３つの目の中に５と偶数が少なくともひとつずつ含まれている事象は、
Ａ∧Ｂ　ということになります。ここで∧は共通集合を表すＵの逆さまのようなものを出したかったのですが、変換できなかったのでこれで行きます。

ベン・ダイアグラムという、よく丸をいくつか描いて場合の数を整理する図がありますが、今ふたつの重なる部分を持つ円をふたつ描いて、ひとつをＡ、もうひとつをＢとすると、Ａ∧Ｂはその重なっている部分にあたります。

その重なっている部分の数を数えるには、ＡとＢの数を数えて足すと、重なっている部分を２回数えてしまっていることになります。

そこで、ＡＵＢと書き表される和集合の場合の数を求めてＡとＢのそれぞれの場合の数の和から引いてやると、Ａ∧Ｂの場合の数が出せます。式で言うと

n(A∧B) = n(A) + n(B) - n(AUB)

です。ここでｎ（）をつけたのは、集合そのものではなく、集合に含まれる要素の数を意味するためです。

n(A)は少なくとも３つの目のうちひとつが５である場合の数です。
これは、全体の６ｘ６ｘ６　通りから、３つとも５以外の｛１，２，３，４，６｝の５つの要素から目が出る５ｘ５ｘ５通りの場合を引いた数です。

n(A) = 6x6x6 - 5x5x5 = 91

次に、少なくともひとつの目が偶数である場合の数ですが、これは全体の６ｘ６ｘ６通りから、３つとも奇数である場合、つまり、３つとも｛１，３，５｝の３つの要素から目がでる３ｘ３ｘ３通りの場合を差し引いた数です。

n(B) = 6x6x6 - 3x3x3 = 189

最後にn(AUB)ですが、これは「少なくともひとつが５であるか、または、少なくともひとつが偶数であるか」のどちらかを満たしている場合です。もっと簡潔に言えば、少なくとも一つの目が｛２，４，５，６｝のうちのどれかです。

つまり、求めたいものは、全体の６ｘ６ｘ６通りから、３つとも目が｛１，３｝のうちのどれかである２ｘ２ｘ２通りを引いたものです。

n(AUB) = 6x6x6 - 2x2x2 = 208

したがって

n(A∧B) = 91 + 189 - 208 = 72

であり、全体の６ｘ６ｘ６＝２１６でこれを割って、

求める確率は３分の１です。

at9_am · Answer

全部答えるとルール違反なので概略だけ。

3個のさいころならば、出る目は3～18。この中に10の倍数は一つだけ。
あとは3個投げて10が出る確率を求めれば良いです。
重複に気をつければ、教科書の例題レベルですね。

サイコロ 確率