漸化式を利用した問題です。

一つの平面上のn本の直線がどの二本も平行でなくどの三本も同一点で交わらないとき、これらの直線がこの平面をan個の領域に分けるとする。（n は自然数）
数列{an}を求めよ。

アホでもわかるように漸化式の立て方までの解説をお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/03/16 22:34

これは確か九大文系の入試問題だったと思います．（記憶違いだったらごめんなさい）

(1)a_1=2

です．

n本がひかれているとき，n+1本目をひくと，これはすでにひかれているn本すべてと平行でないからかならず交点を1点持ちまます．それはn個ありますが，どの3本も同一点で交わらないからn+1本目は異なるn個の交点でn+1個の部分に分かれます．すると領域はn+1個増えますから，

(2)a_{n+1}=a_n+n+1

が成り立ちます．例えば3本目ははすでにひかれている2本と異なる2点の交点をもち，3本目はその2点で3つの部分に分かれます．すると3つの領域が増えます．だから，

a_3=a_2+3

となります．（図を描いてください．）

(2)より

a_{n+1}-a_n=n+1

であるから，階差数列の公式より，n≧2のとき

a_n=a_1+Σ_{k=1}^{n-1}(k+1)=2+(2+3+・・・+n)

=1+(1+2+・・・n)=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2

n=1のときも成り立つ．

よって

a_n=(n^2+n+2)/2（答）

この回答へのお礼

詳しく教えてくれてありがとうございます。
助かりました。

お礼日時：2013/03/23 08:00

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/03/16 15:30

「一つの平面上のn本の直線がどの二本も平行でなくどの三本も同一点で交わらないとき」

n本目の直線は、先に引かれている n-1本の直線と必ず交わり、それらの交点は重ならない。
そういうイメージで、n＝ 4ぐらいまで線を描いてみれば…

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/16 14:51

a[n+1] - a[n] を n = 1, 2, 3, 4, …

について、作図しながら何個か求めてみると、
規則性に気がつくと思うけどな。