無数の線

小学生の時、美術の時間に、紙に無数の線を引くと何か気付くことはありませんか？と言われたのですが、その種明かしはないままでした。
最近になってそれが数学よりだとゆ～ことはわかったのですが・・・

これって一体ど～ゆ～ことなのですか？教えてくださいお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： apple-man 回答日時： 2004/03/10 22:59

>小学生の時、美術の時間に、紙に無数の線を引くと何か気付くことはありませんか？と言われたのですが、その種明かしはないままでした。

線の集まりが面になるでしょ。
いくら無限にあろうとも、線は１次元です。
その１次元の線で、面が覆われていると
いうことは、平面は１次元ということ
ですね・・・え？　えーえ！

　といった感じで、これは１９世紀に
数学者たちの間で問題になった次元の定義
に関する問題の１つで、このように空間いっぱいに
広がる線のことを今では空間充填曲線などと
言います。
　
　代表的なものに、イタリアの数学者ペアノが
考えた、ペアノ曲線というのがあります。（参考URL)


＞これって一体ど～ゆ～ことなのですか？

　１つの方向だけでその場所を指定できるから
線は１次元という定義と、X,Yみたいに２つの
方向が必要だから面は２次元という、
中学校の幾何の考え方を、この空間充填曲線
当てはめようとすると矛盾が起こるわけです。

　これが、次元の定義の仕方に問題があるのでは？と
数学者達が考え始めるきっかけになり、その後
ハウスドルフ次元や容量次元といった、より厳密で
矛盾の出ない定義を目指した次元の定義方法が
考案され、これらが２０世紀後半に、フランス人
数学工学者（この人、数学と航空工学の２つの
学位を持っているんです。）ベノア・マンデルブロ
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4532062 …

によって命名された「フラクタル幾何学」と
呼ばれる現代数学の基礎となっています。

＞小学生の時、美術の時間に、

　図画工作じゃなくて・・・？　まいいですが。

　フラクタルの実例（マンデルブロ集合等）
をどこかで調べてみて下さい。
フラクタルは数学的に意味があるばかりでなく、
コンピュータで色をつけて表示すると非常に
美しいのです。
　実際、芸術の世界で応用されているので、
それで美術を教える先生が知っていたのでしょう。

参考URL：http://home.ksp.or.jp/csd/cai/chafratrial/Ch7_3. …

No.3 回答者： komomomo 回答日時： 2004/03/10 16:21

＃１です！

もしかしたら、＃２さんの仰ることに続けて「立体は面の集合である」ということを意図していたのかも知れません（*＾○＾*）

コンピューターグラフィックスで、小さな面の集合で立体を表現しているのを見たことがあるかと思います。そんな感じで。。

No.2 回答者： baihu 回答日時： 2004/03/10 13:17

線が面を徐々に覆っていくさまを、「面は無数の線の集合だ」ととらえる感覚を示唆されたのでしょうか。

少し高度な解釈では、いくら線を引いてもなかなか面を覆うまでは引けないことから、「無限」の直感的理解をうながしている、とか。

No.1 回答者： komomomo 回答日時： 2004/03/10 10:45

こんにちは～。

もしこれから n 番目の線を引くとします。既に引いてある線を全て横切るようにすると、その n 番目の線は n - 1 本の線を横切ります。すると、n 番目の線は n 個の新しい区切られた範囲を作ることになります。

例えば田んぼの田のような場合、もう１本引くと、４つの区域に ３番目の線が２本の既にある線を区切って３個の新しい範囲をつくり、全部で７つの区域が出来ることになります。

これを一般化すると、全部の区切られた範囲は 1 + n(n + 1)/2 と書くことが出来ます。最後の式は、Σn の公式になっています。

少し考え方は違いますが、下のURLに具体的な数字が書かれているので参考にしてみて下さい。

参考URL：http://mathforum.org/geopow/solutions/full_solut …

この回答へのお礼

う～ん？ちょっと違うかもしれません。
なんかその美術の時間ではとにかく適当に直線を引きまくって、その直線だけで一枚の紙を真っ黒に塗り潰そうという物だった気がします。
高校の友達によると適当に引いたその線でも何かしらの法則が見えてくるみたいなんですが、ますますわかんなくなってきました。

その横切ると区画が○こっていうのは、ちょうど最近やりました。大学入試の過去問をやっているときに。ただ式で表せるというのはわからなかったのでありがたいです。ありがとうございました。

お礼日時：2004/03/10 22:26