No.8ベストアンサー
- 回答日時:
そろそろ時間もたったことだし,ちょっと詳しく書いてみる。
Xの整式X^75-2X^50+3X^25をX^2-X+1で割ったときの商をQとして,余りをaX+bとする。
2次式で割った余りなのだから1次以下の式になることはわかっているよね。
この条件を式にすれば
X^75-2X^50+3X^25=(X^2-X+1)Q+aX+b (A)
です。ここでX^2-X+1=0の相異なる解であるαとβを考えて(αとβが重解で等しいなどということはないこともわかるよね。),まずαを(A)に代入してみる。
α^75-2α^50+3α^25=(α^2-α+1)Q+aα+b
ここでα^2-α+1=0になるので,式は簡単になる。つまり
α^75-2α^50+3α^25=aα+b (B)
です。次にα^75などを何とかするわけですが,α^2-α+1=0からα^2=α-1がわかる,つまり2次式を1次式にすることができることがわかっているので,それを次々に適用すれば75次式も1次式になる。したがって安心して計算してよい。しかし直接α^2=α-1を使うのはうまくない。次数を上げたものも計算しておきます。
α^3=α*α^2=α(α-1)=α^2-α=(α-1)-α=-1
になりました。そして
α^6=α^3*α^3=1
です。これを使えば
α^75=α^69=α^63=...=α^9=α^3=-1
α^50=α^44=α^38=...=α^8=α^2=α-1
α^25=α^19=α^13=...=α^7=α
になります。したがって(B)は
-1-2(α-1)+3α=aα+b
α+1=aα+b (C)
なりました。今までにやったことは同じようにβにも適用できるから
β+1=aβ+b (D)
になります。(C)-(D)を計算すると
(α-β)=a(α-β)
が導かれてαとβ等しくありませんから,α-βで割ってa=1が導かれます。これをたとえば(D)に代入すれば
β+1=β+b
となり,b=1となりました。
結局これで余りはX+1だとわかりましたね。
No.7
- 回答日時:
この問題って, #2 にある「x^2-x+1=0 の解を α, β とすると α^3=β^3=-1」がほとんどすべてなんだよな~.
これに気づいてしまえばちょろちょろっと計算するだけで解けてしまう. つまり, そもそも α も β も不要.
No.3
- 回答日時:
どう考えても簡単に解く鍵が見つかりません。
Xの整式は因数分解できる形だけど関係なさそう。
Xの整式をX^2-X+1で実際に割るわけにもいかない。
時間がかかりすぎるし、その分間違える可能性が高くなるし。
問題間違ってないですか?最終的には問題の記入ミスを疑うしかありません。
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