静電気力がする仕事

真空中で、下図のようにx軸、y軸をとり、原点Oに電気量Q[C](Q>0)の点電荷を固定する。点A, B, Cはx軸上の点、点Dはy軸上の点であり、r[m]は点Aのx座標である。クーロンの法則の比例定数をk[N•m^2/C^2] とし、重力の影響を無視する。
問
点Dから点Bまで、電気量q[C](q>0), 質量m[kg]の点電荷Pをゆっくりと移動させるとき、静電気力がする仕事と、外力がする仕事を求めよ。

外力のする仕事は、q(kQ/2r-kQ/r)=-kqQ/2rで、ゆっくり動かすのだから、静電気力と外力は釣り合っていて、(静電気力のする仕事)=-(外力がする仕事)=kqQ/2r となるのはわかります。

静電気力のした仕事を ∫ F dx の形から求めるやり方を考えてみました。↓

OP=aとすると、Qがqに及ぼすクーロン力は kQq/a^2と表され、直線DBのD→Bの向きとOPのなす角をθ, DP=xとすると、静電気力がする仕事は、
∫[0→√5r] (kQq/a^2)cosθ dx
と表される。
△DPOに余弦定理を用いると、
a^2=r^2+x^2-2rxcos(角DPO)
=r^2+x^2-2rx/√5
同様に、
cosθ=(x^2+a^2-r^2)/2ax
∴ ∫[0→√5r] (kQq/a^2)cosθ dx
=∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx


この複雑な積分を計算したら kqQ/2rになるんでしょうか?
自分のやり方が間違っていますか?

No.3 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/04/26 18:49

＞=∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx

見通しをよくするために再び

a = √[ r^2+x^2-2rx/√5 ]

で書き直すとつまるところこの被積分関数f(x)は

f(x) = kQq (x-r/√5) / a^3

a^2を平方完成させると

a^2 = x^2-2rx/√5 +(r/√5)^2 - (r/√5)^2 + r^2
= (x-r/√5)^2 + (4/5)r^2

簡単にするため b^2 = (4/5)r^2 とおき、x-r/√5 = b tanθと変数変換すると

a^2 = (x-r/√5)^2 + (4/5)r^2 = b^2 ( 1 + tan^2θ ) = b^2/cos^2θ
dx = b dθ/cos^2θ

なので

f(x) = kQq b tanθ(cos^3 θ/b^3) b dθ/cos^2θ
= (kQq/b) sinθdθ = - (kQq/r)(√5/2) d(cosθ)

後はやっていませんが、ここから変数変換に伴う積分の上限・下限の変更を適切にして積分を行えば答えに行きつくのではないでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/30 09:33

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/04/27 10:56

一晩寝たらふと思いついたのですが、最終的にこの積分になるということは、

最初から原点OからBDに垂線をおろして、この垂線からの角度をθとするか、
あるいは、垂線の方向が座標軸になるように座標回転してから解くと簡単でしたね。

角ODBをαとするとcosα=1/√5, sinα=2/√5なので

b = (2/√5)r = r sinα は垂線の長さ、
(x-r/√5)の(1/√5)r = r cosαはDから垂線の足までの長さ
b tanθは垂線の足から測った直線BD上の距離

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/30 09:32

No.2 回答者： heboiboro 回答日時： 2013/04/26 10:46

> この複雑な積分を計算したらkqQ/2rになるんでしょうか

なります

というか、式を整理してみると、実はそれほど複雑ではないことが分かります

∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx
= (1/2)∫[0→√5r] kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)^(3/2)*(2x-2r/√5) dx
= -∫[0→√5r] d/dx{kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)^(1/2)} dx


ポテンシャルと力の関係 F = -∂V/∂x を考えれば、
保存力の仕事を求める積分の中身は常にこのような簡単な形(何かの微分)になります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/30 09:33

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2013/04/26 04:13

>>この複雑な積分を計算したら kqQ/2rになるんでしょうか?

多分、なるはずです。

ただし、
>>自分のやり方が間違っていますか?
「∫ F dx の形から求めるやり方」としては間違っています。

仕事はポテンシャルエネルギーの差から求めたのでしょうか？
でしたら、わざわざ、複雑な積分を選ぶ必要はありません。

積分路によらないことがわかれば、積分路として、
(1)初めにD,A点を通る半径rの1/4円を取り、
(2)つぎに、A,Bの直線を取ればよいのです。

どうしても指定の積分を計算したいのであれば別ですが。
あと角DPOではなく角PDOとかしないと誤解されます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/30 09:33