No.2ベストアンサー
- 回答日時:
|1 a a^3|
|1 b b^3|
|1 c c^3| 1行目を-1倍して、2行目と3行目に加える
=
|1 a a^3 |
|0 b-a b^3-a^3|
|0 c-a c^3-a^3| 1列目で小行列式に展開
=1*
|b-a b^3-a^3|
|c-a c^3-a^3| 2行目から(b-a),3行目から(c-a)を括り出す
=(b-a)(c-a)*
|1 b^2+ab+a^2|
|1 c^2+ac+a^2| 1行目の-1倍を2行目に加える
=(b-a)(c-a)*
|1 b^2+ab |
|0 c^2-b^2+ac-ab| 一列目で展開
=(b-a)(c-a)*1*(c^2-b^2+ac-ab) (c-b)を括り出す
=(b-a)(c-a)*(c-b)((c+b)+a)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
No.3
- 回答日時:
三列目が二乗のときと同じように、
式の対称性格に注目しよう。
まず最初に、Σ を用いた行列式の定義か、
あるいは、余因子展開から考えれば、
行列式は a,b,c それぞれについて
3次多項式であることが解る。
a,b,c のどれか一対を入れ換えると
行を入れ換えたことになり、行列式は
正負が反転する。つまり、交代式である。
a=b または b=c または c=a のとき、
一致する行ができて、行列式は 0 になるから、
因数定理により、行列式は = (a-b)(b-c)(c-a)P
と書ける。P は、a,b,c の対称な1次式である。
対称な一次式は = s(a+b+c) + t, (s,t は定数)
という形のものしかないから、
後は、(a,b,c) = (0,1,-1) と (0,1,2) でも
代入して、行列式の値を計算してみれば、
s,t の連立方程式が得られて、
s = 1, t = 0 が判る。
結論は、行列式 = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
この回答へのお礼
お礼日時:2013/05/10 14:57
自分は、地道に掛けたり引いたりをしていたのですが、こちらの方が慣れれば早く簡単かもしれませんね。
回答ありがとうございました(^^)
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