素数定理では満足できない

π(N)≒N/logN
この素数定理、今もって、極めて有名・有意義な式らしいですね。
例えばN=100万のとき、左辺は78,498、右辺は72,382・・・だそうです。結構誤差がありますね。
しかし、この素数定理は、Nがとてつもなく大きくなると、極端に言えば無限大だとすると、「≒」が「＝」となる、と言っているんでしたよね。すばらしい発見です。
が、裏を返せば、無限大まではいかないけどとてつもなく大きなN、例えば10の1億乗までには何個の素数があるかとなると、やはり上式による限りは近似値しか得られません。

そこで質問ですが、いかなる大きさであろうとも、有限の値Nに対し、近似値ではなく正確な個数π(N)を表す式は発見されていないのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ibm_111 回答日時： 2013/05/10 07:08

ありますよ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0% …
N/logNはこの式の近似です。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

π(N)は勿論自然数です。
R(x)は恐らく整数なんかではありませんよね。
このような超越数か無理数か訳の分からない項を加減した結果が整数になるなんて、「神秘」としか言いようがありません！。
こんな式を発見できた人は「人間じゃねぇ！」！。

お礼日時：2013/05/10 09:50

No.4 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/05/18 15:49

二番目の方の回答を見て、ちゃんと意味のあるリーマンの素数公式や明示公式の類を忘れていたなあと。

リーマンの素数公式は証明されている正確な式です。ただし、ζ関数の非自明な零点(あのリーマン予想に出てくる例のやつです)すべてがわからないと、正確な計算ができません。なので、実際の計算ではζ関数の零点100万個をとりあえず使って近似計算みたいになるわけです。が、まさにおっしゃった「コロンブスの卵」的な私が書いた式よりははるかに本質的であり、意味のある公式です。
ついでにコロンブスの卵はたくさんありますので、せっかくだからもうひとつ。
2以上のnについて、
π(n)
=
Σ{k=2,n}[1/(Σ{i=1,k-1}[[n/i]/(n/i)]]
(例によって[ ]はガウス記号)
素数の定義しか使っていませんので、本当に役に立ちません(笑)。

この回答へのお礼

二つ目の卵、ごちそう様です。

ところで、問題についての認識を確認しておきたいのですが、私の疑問は、無限でないNに対し、
π(N)≒
ではなく、
π(N)＝
となる式があるのかどうかということなんです。"コロ玉"ではなく。

>ζ関数の非自明な零点(あのリーマン予想に出てくる例のやつです)すべてがわからないと、正確な計算ができません。
↑
従って、『π(N)＝云々、となる式がない』というわけではありませんよね。

（蛇足）「リイマン」と「コロ玉」って、何が違うんだろ。片や"本質的"、片や"本質的でない"・・・？？。

お礼日時：2013/05/22 07:20

No.3 回答者： Water_5 回答日時： 2013/05/12 10:37

それに関連して

素数は無限個存在することが証明されている。

個数を表す式が以下として
π(N)＝？「＋＋＋」・√

右辺の式はやはり、N－－－＞∞の時
無限大に発散する式なんだろうな。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

>右辺の式はやはり、N－－－＞∞の時無限大に発散する式なんだろうな。
↑
三段論法からすれば当然仰せのとおりかと（素数が無限に存在することの証明は、自然数が無限に存在することの証明と同程度に易しい）。
ちなみに、#1,#2回答者様ご紹介の式は、私のような素人には、発散するか否か判定不可能です。

お礼日時：2013/05/14 07:11

No.1 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/05/09 23:51

たくさん見つかっています。

一例ですが

π(n)
=
-1+Σ{k=1,n}[(((k-1)!+1)/k)-[(k-1)!/k]]

[]はガウス記号

ただし、役立つような意味のあるものや、簡単に計算できるようなものは、知る限りはありません。今書いた式もエラトステネスの篩で直接数えた方が早いくらい効率の悪い式です。

この回答への補足

ガウス記号は「[」と「]」の対だったんですね。失礼しました。画面では「[]」という四角形にしか見えなかったものですので・・・。ガウス記号って学校で習ったはずなのにすっかり忘れていました。要するに、excelでいう「int関数」ですよね。

ご紹介の式は、リーマン関数などを用いたややこしい式と違って、整数を1個1個足していく感じで、身近には感じますよね。これがリーマンの式と同等なんて、とても思えません。神秘的です。

いずれにしても、同じπ(N)であっても全く別の式が存在することは不思議としか言いようがありません。

ちなみにこの式って、Kが素数のときの項は１で合成数のときの項は０となるように仕組んであるみたいですね。巧妙です。"コロンブスの卵"ですねぇ。そして「１」を素数から除く配慮までしてあるなんて・・・。

※しかし、つらつら考えると、この式って、2からNまで１個づつシラミ潰しに素数か否か調べているのと同等で、やはり"コロンブスの卵"ですなぁ。

補足日時：2013/05/10 21:54

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

>-1+Σ{k=1,n}[(((k-1)!+1)/k)-[(k-1)!/k]]
↑
ガウス記号はどこにあるのでしょうか？。

お礼日時：2013/05/10 08:09