A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
三角不等式は、図を描いて解くと間違いが少ないと思います。
[不正解]な解
●不等式の両辺に0を掛けてはいけない。
cos(θ)は0≦θ<2πでゼロになるところがあります。
→ θ=π/2, 3π/2
この時は不等式の意味が失われてしまう。
不等式に関係なく左辺=右辺=0の式になる。
●不等式の両辺に負数を掛けると不等号の向きが変わる。
cos(θ)は0≦θ<2πで正数にも負数にもなる。
cos(θ)<0の時は両辺にcos(θ)を掛けると不等式の向きを逆向きに
しなければならない。
[不正解]ではcos(θ)<0の時に不等式の向きを逆向きに
しなければならないが、不等号の向きを変えていない。
不等式ではグラフを描いて解くと間違いが少ないでしょう!
y=sin(θ)とy=tan(θ)のグラフの概形を描いた図を添付します。
0≦θ<2πで
sin(θ)<tan(θ)
となるのは
y=tan(θ)のグラフがy=sin(θ)のグラフの上に来る、図の赤のθの範囲です。
すなわち、「0<θ<π/2またはπ<θ<3π/2」
(不等式に等号がないので解の不等号には等号は付きません。)
↑が答えになります。
No.4
- 回答日時:
貴方の証明が正しいか正しくないか以前に、
そもそも命題自体が真でないことは、
cos と tan のグラフを書いて見れば明らか。
0≦θ<2π の範囲には、
tanθ が定義されない点すら含まれているし。
ひょっとして、問題のほうが
0≦θ<π/2 の間違いなんじゃないのか。
その範囲なら、貴方の証明で正解になる。
No.3
- 回答日時:
>(2)の両辺にcosθをかけると
>sinθcosθ<sinθ ・・・ (3)
cosθは負の値や0もありえます
この回答への補足
「cosθは負の値や0もありえます」
少しわかってきました。
cosθ≠0のときは、下の解答のようになると思いますが、
cosθ=0の取り扱いをどうしたらいいかわかりません。
tanθ=sinθ/cosθとしたことで、分母に0を取り得る形に
変形したことがまずいのでしょうか?
解説をよろしくお願いします。
【やり直し解答】
sinθ<tanθ ・・・ (1)
tanθ=sinθ/cosθを(1)に代入すると
sinθ<sinθ/cosθ ・・・ (2)
(a)cosθ>0のとき
このとき0<θ<π/2、3π/2<θ<2π
(2)の両辺にcosθをかけると
sinθcosθ<sinθ ・・・ (3)
(3)を解いて0<θ<π/2 ・・・(4)
(b)cosθ<0のとき
このときπ/2<θ<3π/2
(2)の両辺にcosθをかけると
sinθcosθ>sinθ ・・・ (5)
(5)を解いてπ<θ<3π/2 ・・・(6)
(4)、(6)より
0<θ<π/2、π<θ<3π/2
No.1
- 回答日時:
(2) から (3) がおかしい. グラフを描けば明らか.
それ以前に, 「0≦θ<2πのとき、sinθ<tanθという問題を解いてみました」は, 少なくとも次の 2通りに解釈できそう:
・0≦θ<2π という条件で不等式 sinθ<tanθ を解く
・「0≦θ<2πのとき、sinθ<tanθ」という命題を証明する
他にも考えられるかなぁ?
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