四角形の外周寸法 角が丸い時は？

あるデザインの為に、製図をしておりますが、解決しなければならない課題に出くわしまして、頓挫しております。お助けを。。。


四角形の外周の計算方法について
直線で構成された四角形でしたら、４つの辺を足せば、外周が出ることは承知しております。
これの、角が丸かったら、どうやって割り出すのか、というのが問題です。


質問１：
上辺140ミリ
底辺190ミリ
左右の辺70ミリ
上記の台形がありまして、４つの角を、直径30ミリのアールにすると、外周はいくつになりますか？

質問２：
外周470ミリの台形を作りたい。
条件は、
左右の辺は等しく、４つの角は直径30ミリのアール。
これの、上辺と底辺は？
（複数パターンあると思いますが、左右対称の台形であり、上辺と底辺が平行とします。）



補足：
今回の場合、すべての角が「30ミリのアール」ですので、辺の長さの表現がしずらいと存じます。
ですので、便宜上、30ミリのアールじゃなく、直線で交わる位置を基点として、各辺の長さを表現していただければと思います。
（もしくは、この分野での、適切な表現方法があれば、それを提示いただければなお助かります。）


これらの割り出し方について、「計算方法」があるようでしたら、教えてください！
これの計算方法がわかれば、色々と応用が出来るので、とても必要としております。

No.6 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/07/21 10:46

No.1です。

　多角形の内接円とその外接円には、(半径) = 2 × (面積) ÷ (周長)という公式があります。
　下に示した台形を４つに分けるとすべて、高さ30mmの三角形です。またそれぞれの底辺の長さは、上下の三角形はややこしいですが計算でると思います。

No.5 回答者： unagi-pie 回答日時： 2013/07/21 09:39

No.2 です。

No.2お礼欄
＞４辺を足し、さらにR部を足したら、ダブってます。
＞少なくとも、直線の４辺を足した長さより、短くならないとおかしいと思いますが、、、

だ・か・ら

＞お望みの回答ではないですが。
と前置きし
＞以下、「R部の中心を基点として」考えます。
とも書いたはずですが。
わかってくれてませんね。

＞「R部の中心」とは、カーブの中心でしょうか？
そうです。

予め切り取ったハリガネまたな板材を曲げて「カド丸な台形」を作るものかと
想像してましたのでこういう説明になりました。

No.3お礼欄
＞これの、角を丸く削ります、R15で。
＞角の取れた台形ができます。
という事情を知らず予想しましたが外れましたね。

カドを削る、という事だと減る寸法が角度によって違ってきます、それの元は
各辺の寸法である事には間違いありませんが、計算式は若干複雑になるようです。

計算式が確定しても各辺寸法のバランスは見ながら判断する必要も生じるでしょうから
Excel に利用し計算式を設定しておき各辺寸法をトライ＆エラーで絞り込む方法が
意外に便利です。

この回答へのお礼

ありがとうございます

なるほどです。
「針金を曲げるイメージ」これですと、外周を変えずに、角を丸くできますね。
説明が不足してすみませんでした。

エクセルでの「トライアンドエラー」
結局、これが答えにつながる力技ですね。

以下をやりました。（質問２に向けて）
底辺・上辺・左右・丸部・外周
0190・0140・0070・0094・0564
0180・0130・0060・0094・0524
0170・0120・0050・0094・0484
0160・0110・0040・0094・0444
0166・0116・0047・0094・0470

これですべての長さは決まりました。
図に書くときの、高さ決めの際にも、一回、力技を使いましたが。。

お礼日時：2013/07/21 19:08

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2013/07/21 02:20

質問１

台形の左上から反時計周りに準にA,B,C,Dとする。
AB=CD=70, BC=190, AD=140
等脚台形だとして、
cos(∠B)=((190-140)/2)/70=5/14
∠B=arccos(5/14)=1.2056
∠A=π-∠B=1.936

R15で丸めたとき、点Bで消失する直線部分の長さは、
15/tan(∠B/2)=21.7945
同様に、点Aで消失する直線部分の長さは、
15/tan(∠A/2)=10.3237

以上から、R15で丸めたときそれぞれの辺の直線部分の長さは、
上辺＝140-10.3237×2=119.3526
底辺＝190-21.7945×2=146.411
左右の辺＝70-10.3237-21.7945=37.8818
丸めた部分の曲線の長さは、直径30の円周だから、
30×π=94.2478

以上を合計すれば、
119.3526＋146.411＋37.8818×2＋94.2478＝435.775


質問２
等脚台形だけだと条件がゆるすぎて、(470-94.2478)/4+30を一辺とする正方形でも当てはまります。

これだとつまらないので、問題１と同じ角度の台形とすると、
((底辺-上辺)/2)/左右の辺=5/14
(上辺-10.3237×2)＋(底辺-21.7945×2)＋(左右の辺-10.3237-21.7945)×2＋94.2478＝470
が成り立つ。
あとはこれを解けばいい。

任意の角度の台形でも同じような計算をすれば辺の長さを求めることができます。

この回答へのお礼

ありがとうございます

驚くほど難解な作業なのですね。。。
角を丸くした際の「消失する直線部分の長さ」の公式があるのですね。
cosやtanなどが出た時点で、すでに学力的に付いていけていないのでお恥ずかしい。。


寸法を変えた場合、これを応用できるには、cosやtanを理解しないとダメですね。
こんな複雑なものでしたか。。

お礼日時：2013/07/21 13:40

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2013/07/20 23:45

回答ではないですが。

質問１の辺の長さは、アールの部分を除いた長さなんでしょうか。
それとも、角を丸める前の台形の長さなんでしょうか。

前者ならNo.2さんの回答でいいですが、後者ならもう少し複雑になります。

質問２についても、求めたい上辺と底辺とは、アールの部分を除いた部分なのか、角を丸める前の台形の辺なのか、どっちなんでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます

質問１ですが、「上辺140ミリ、底辺190ミリ、左右の辺70ミリ」の台形は、ごく普通の角のある台形で、外周は470ミリです。
これの、角を丸く削ります、R15で。
角の取れた台形ができます。
これの外周を求める方法がわからなくて困っておりまして。。

質問２については、「直線部分（アールを省いた長さ）」をお答えいただいてもいいですし、「角を丸める前」の長さをお答えいただいてもいいです。


併せて、求め方をアドバイスいただけますと非常に助かります。

お礼日時：2013/07/21 01:09

No.2 回答者： unagi-pie 回答日時： 2013/07/20 22:38

お望みの回答ではないですが。

直線部は
＞直線で交わる位置を基点として
でなく、アール部(以下R部)の中心を基点にすると、
その長さが直線部のそれと同じなので考えやすいんですが。

また、アール・R は半径の記号で、 質問文の例のように直径30mmの丸めを示す際には
「R15」と記すので、それに倣います。

R部の寸法合計は、半径15mmの円周と同じ (15+15)*3.14 ≒94 mm。

以下、「R部の中心を基点として」考えます。

＞質問１：
回答；上辺140＋底辺190＋左右辺70x2 +R部94 = 564 mm

＞質問２：
回答；一例。470 = R部94 +左右辺70x2 +上辺93 +底辺143 でちょうど。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

まずはじめに、質問文の致命的な表現下手がありました。
「R15」ですね。半径15ミリのアールです。
イコール、直径30ミリですから、間違ってはおりませんが、通常「アール」を表現する際は、半径を示すようですね。
失礼しました。

そして、本題ですが、
「R部の中心」とは、カーブの中心でしょうか？
これの示す意味が捉えられず、解釈に挫折してしまいました。
円の中心、というわけでもないでしょうし、、


ご回答にあります「質問１」について、
４辺を足し、さらにR部を足したら、ダブってます。
少なくとも、直線の４辺を足した長さより、短くならないとおかしいと思いますが、、、

お礼日時：2013/07/21 01:01

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/07/20 18:25

いえ、単純に円は足せば一周するのですから・・(^^)

四隅だけ、かき集めると図のようになりますね。
　外接多角形の一周と、円周の差が外周の差になります。
　これはどのような多角形でも成り立ちます。

　角度を元に簡単に計算できますよね。

この回答への補足

お礼の後の追記です。

もしかしますと、

外接多角形は、提示いただいた図では、台形になっておりますが、これは、正方形と同じ外周ですか?
つまり、一辺が30ミリの正方形と同じ、、、、いや、ちがうなぁ、、、

外接正多角形だったら同じ、、かな。
今回は台形だから、こんな楽ではないですよね。

やはり、求められません、苦。

補足日時：2013/07/20 19:32

この回答へのお礼

ありがとうございます。

外接多角形と呼ぶのですね、勉強になります。

各アール（この場合は４つ）を足すと円になるのですね？

ただ、その先が理解できません、
求めたい数値に行き着かないのです。。。


先の２つの答えを出していただいてもよろしいでしょうか？

お礼日時：2013/07/20 19:05