コンデンサーと静電エネルギーについて

物理IIを学習している高校生です。

授業でコンデンサーに充電するときのエネルギーの関係について学びました。

電気容量C（F)のコンデンサーを電位差V(V)の電池につないでQ(C）の電気量をコンデンサーに蓄えたとき、電池がする仕事はW＝QV、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーはその半分の(1/2)QVになる。残りの半分は導線の抵抗によるジュール熱の発生に使われている。

と習いました。しかし、なぜほとんど抵抗がないように作られているはずの導線を通しているのに半分もエネルギーが失われてしまうのか直感的に理解できません。もし、抵抗が全くない導線（超伝導など？）を使ったらどうなるのでしょうか？


また似たようなことなのですが、充電し終わったコンデンサーを別の充電されていないコンデンサーに接続すると、必ず静電エネルギーが失われますよね？これもどこでエネルギーが失われているのかわかりません・・・。上と同じように抵抗0の導線を使えばエネルギーの損失をなくすことができるのでしょうか？


このあたりは複雑なので水流モデルで理解したいと考えているのですが、どうにもうまくいきません。コンデンサーを並列につないだときの静電エネルギーの減少はどうしたら水流モデルで考えることができるでしょうか。


一部でもいいので答えていただけると幸いです。

No.5 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/07/24 21:02

　#4です。

高校物理の教科書は不親切だと文句たれておきながら、自分の方が不親切でした。

＞しかしそうするとなぜ電池がした仕事が「(1/2)QV」になるのかますますわからないです。やはりこれは間違っているという解釈でいいでしょうか？？

　ハイ！。その通りです！。

　しかし#2さんの仰る事も、恐らく本当なんですよ。理由は#3で書いたように、現実の材料は無限大の電流は流せないからです。

　でもジュール熱が無視し得るくらいに小さくなると、コンデンサーは一瞬で充放電される状態に近くなるので、電流の時間変化は非常に大きくなります。この時は電磁波によるエネルギー散逸が無視できなくなり、結局#1さんの抵抗値によらないエネルギーロスと同じ結果になります。


　言い訳しますか・・・。

＞ここで再び数学的なＣ回路は復活し、電池のした仕事は近似的に、「(1/2)ＱＶ」という事になります。

　これを書いた時、電磁波によるエネルギー散逸の事は忘れていました。というのは通常の電気回路理論では、回路電流の時間変動に起因する電磁波の発生を無視するからです。ふつう電磁波の発生は、抵抗Ｒなどが十分大きくて電流の時間変化は十分小さく、無視できます。

　なので、コンデンサーに貯まる静電エネルギー(1/2)ＱＶと、抵抗Ｒによるエネルギーロス（抵抗値によらない）(1/2)ＱＶで、電池のした仕事はＱＶと考えるのが、わかり良いと思いました。

　この時点では、最初からＲ＝0の数学的Ｃモデルでは、電池のした仕事は(1/2)ＱＶにならざる得ません。通常の電気回路理論では、回路電流の時間変動に起因する電磁波の発生を「無視」するからです。

　この時点では、ＣＣ回路だって最初の静電エネルギー(1/2)ＱＶを、仲良く(1/4)ＱＶずつ分け合うのさ、などと「呑気に」考えていました（エネルギーロスなしに）。

　で、ふと・・・、静電容量Ｃ＝Ｃで電荷それぞれＱ/2なら、電圧もＱ/2/ＣになるからＥc＝(1/8)ＱＶでしょう！、と気づいた訳です。あわてふためいて見直すと、ＣＣ回路の話であるべきところが、LC回路の話にもなってました・・・。あわてた・・・。


　LC回路の記述は、#1さんの最後の段落です。

　最初からＲ＝0とする数学的なLC回路は、現実に妥当します。19世紀にコールラウシュが、現実のLC回路の結果をもとに、光速度を計算しています。もっともコールラウシュは、その値が光速度だとは気づいていませんでした・・・。


　余談ですが、誘電現象による静電エネルギーの減少とは、次のような話です。

　平行平板コンデンサーの極板間に誘電体を挿入すると、コンデンサーの静電容量Ｃが上がります。紙の束なども誘電体で、たいていの電気を通さない有象無象の物体は誘電体です。

　適当な誘電体を極板間に挿入すると、コンデンサーの静電容量Ｃを、例えば2倍の2Ｃにできます。電池電圧Ｖで充電された後、回路スイッチを切られたコンデンサーを考えます。そのコンデンサーに適当な誘電体を挿入すると、静電容量は2Ｃになりますが、貯まっている電荷Ｑは同じです。充電された後、回路スイッチを切られているからです。

　そうするとそのそのコンデンサーの電圧は、誘電体を挿入した瞬間に静電容量が2Ｃになるので電圧はＶ/2になります。従って誘電体を挿入すれば、コンデンサーの静電エネルギーは(1/4)ＱＶです。

　極板上に貯まった電荷量Ｑは同じなのにも関わらず、です。・・・不思議でした。


　この状況は、電圧Ｖで充電されたコンデンサーを、未充電のコンデンサに並列接続するＣＣ回路の状況と、全く同じなんです。なぜ並列接続かは電荷の符号でわかると思いますが、コンデンサーの静電容量Ｃが、極板面積をＳ，極板間距離をdとして、Ｓ/dに比例するのはご存知と思います。

　二つのコンデンサを並列接続するという事は、極板面積が2倍になるので、1個のコンデンサの静電容量が突然2倍になるのと同じです。でも誘電体を挿入する方には、以下のような解釈が可能です。


　誘電体を極板間に挿入すれば、極板間では電荷Ｑの電場が働くので、誘電体の電子と陽子の分布に偏りを生じさせ、誘電分極が起こります。誘電分極の結果は、極板の電荷Ｑによる電場を打ち消すような電荷の出現とみなせるので、コンデンサーの静電容量は増加します。電圧も下がります。

　静電エネルギー(1/4)ＱＶのロスは、誘電体の誘電分極に使用された、とみなせます。しかし誘電分極は、電子と陽子の移動という原子内レベルでの使用なので、使用エネルギーは保存されるはずです。

　実際に誘電体を極板から引き抜けば、コンデンサーの静電エネルギーは(1/2)ＱＶへ回復します。では(1/4)ＱＶのエネルギーは、どこへ戻されたのでしょうか？。

　極板ではありません。極板上には終始一貫して電荷Ｑがあり、極板の状態は、誘電体の有る無しに関わらず同じだと考えられます。という事は、(1/4)ＱＶの静電エネルギーは、極板間の空間に戻された、もしくは極板間に存在している電場に戻された、と考えざる得なくなります。


　このように現在の物理は、とっても意外な結果を導きます。誘電体のないコンデンサーの並列接続の場合、似たような発想で、(1/4)ＱＶのエネルギーは電磁波によって持ち去られたと結論せざる得ません。

　これはじつは、エネルギー保存則を信じた、後付けの結論なんですよね。他に原因がないという・・・(^^；)。

この回答へのお礼

たびたびありがとうございますm(__)m

つまり答えてくださったことをまとめると、
(1)現実のモデルではR≠0なので失われるエネルギーは抵抗でジュール熱として失われる。
(2)R=0の数学モデルでは抵抗ではエネルギーは失われないが、そうするとエネルギー収支が合わない。そこでコンデンサーで電磁波としてエネルギーは放出されたと考えるほかなくなる。

ということでいいでしょうか。ただ実際問題R=0ということは現実モデルではまずありえないので教科書などでは「ジュール熱として失われる」と書いてあるということですね。

また、コンデンサーの水流モデルについては自分なりに考察してみました。
コンデンサーをダムとして考えるとうまくいくことがわかりました。
ダムに溜まっている水の高さがV、水の量がQとするとコンデンサーが持つエネルギーは水の持つ位置エネルギーに置き換えることができ、これはダムの高さの半分V/２にすべての水を集めた時の位置エネルギーに等しいのでQV/2になります。
これをもう一つの空のダムに接続すると水は勢い良くからの方へ流れ込み、同じ高さになった所で移動は止まります。
この勢いをどう収めるかが今回の問題であったとわかりました。抵抗が存在するときは抵抗によって流れが逐一せき止められるので（＝ジュール熱）問題ないが、抵抗がないときは勢いを持ったままダムへ流れこんでしまうことになります。それでは困るので仕方なく最後の手段としてダムが壁などでエネルギーを受け止める（＝電磁波）ということです。


これで問題がなければこのトピックは終了させていただきます。
本当に何度もありがとうございました！

お礼日時：2013/07/25 16:01

No.4 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/07/23 20:39

　#3です。

嘘書きました・・・。

　CC回路の電流が単振動するわけないですよね。単振動するのはLC回路です。

　現実のCC回路は常にCRC回路なので、まずCRC回路の数学モデルで計算すると、両方のコンデンサーの電圧が等しくなるまで電荷が移動し、それぞれＱ/2ずつの電荷を分けあいます。各コンデンサーのエネルギーは、電荷半分，電圧半分になるので、QV/8＋QV/8となり全体ではQV/4です。一方Ｒによるエネルギー消費は、ＣＲ回路のときと同様にＲの値に関わらずQV/4で、QV/4＋QV/4＝QV/2なので、現象全体でのエネルギー収支は合います。

　ところで、Ｒ→0の極限でもＲによるエネルギー消費が変わらないのは、2つのコンデンサーを接続した瞬間に無限大の電流が流れるという計算（数学的理想化）をするからです。

　しかし現実の材料は、無限大の電流は流せません。初期電流値は、どこかで頭打ちになります。そうすると回路抵抗が十分小さければ、ジュール熱の発生は無視できる程度となり、Ｒ→0ではなく最初からＲ＝0の数学的なＣＣモデルが妥当する事になります。

　ところがこの時も電荷ＱをＱ/2ずつに分けあうのは同じなので、電荷が平衡に達した時の系のエネルギーは本当にQV/4となり、エネルギー収支が合わなくなります。

　抵抗によるエネルギー消費は無視できるのに、QV/4のエネルギーはどこへ行ったのか？。


　状況としては違うのですが、じつは自分も本質的には同じ事に気づいて、びっくりしたおぼえがあります。それは、コンデンサーの誘電分極に伴って起こる、コンデンサーの静電エネルギーの減少です。

　この機構を理解するには、静電エネルギーはいったいどこに貯まるのか？、という考察が必要になり、静電エネルギーはコンデンサの極板が持つのではなく、極板間の空間が持つと考えざる得なくなります。そしてQV/4のエネルギーは、電流の時間変動によって励起された電磁波（電波）によって、コンデンサー外部へ散逸したと考えられます。

　抵抗Ｒがある程度大きい時は、コンデンサー間を流れる電流の時間変動も小さいので、QV/4のほぼ全ては抵抗によるジュール熱で消費されますが、抵抗Ｒが極めて小さいと、電磁波による散逸効果の方が優勢になります。

　また抵抗による消費エネルギーと電磁波による散逸エネルギーがぴったり等しい事も、どういう機構で電気抵抗が生じるかを記述する物性論レベルまで追跡すれば、恐らく偶然ではないはずです。


　という訳で、ＣＣ回路に関する疑問は、大学まで待って頂けないでしょうか？。

　自分の間違いもあり、お願いですから混乱しないで下さい・・・。できれば・・・。

この回答への補足

すみません、違かったです。
＞＞この時は抵抗でのジュール熱は小さくなるかもしれませんが

これは#1さんにお答え頂いた通り抵抗で失われるエネルギーは一定なのでありえませんね。
しかしそうするとなぜ電池がした仕事が「(1/2)QV」になるのかますますわからないです。やはりこれは間違っているという解釈でいいでしょうか？？

補足日時：2013/07/24 17:20

この回答へのお礼

電流の単振動というのは授業でやっていないのでよくわからないのですが・・・（汗）

抵抗が小さいときはコンデンサーでの電磁波（？）によるエネルギー放出、大きいときはジュール熱でのエネルギー放出で半分のエネルギーが失われてしまっているということですね。
なんとなくわかったような気がします。
ただ、そうすると#3で答えてくださった（3）は違いますよね？？

＞＞　ここで再び数学的なＣ回路は復活し、電池のした仕事は近似的に、「(1/2)ＱＶ」という事になります。

の部分です。この時は抵抗でのジュール熱は小さくなるかもしれませんが電磁波によるエネルギー放出は行われるので電池はやはりQVの仕事をすることになると思うのですが・・・。もしこの質問を見てくださっているのでしたらお答えください<m(__)m>

お礼日時：2013/07/24 12:29

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/07/22 23:10

　あなたの疑問は、水流モデルと無関係と思います。

というか、どんなモデルを使っても、解決できないと思います。あなたの悩みどころは、数学モデルと現実との対応の付け方なんですよ、きっと(^^；)。


(1)数学モデル
　コンデンサの静電容量をＣ，抵抗をＲ，ソレノイド（コイル）のインダクタンスをＬで表します。これらの記号を用いて、ＲＣ回路やＣＣ回路などが定義されるのは、OKですよね？。

　まずＣ回路です（電池Ｖとコンデンサのみ）。コンデンサの充電が終われば、コンデンサには電荷Ｑ＝ＣＶが貯まり、コンデンサは(1/2)ＱＶの静電エネルギーを持ちます。このとき電池のした仕事も「(1/2)ＱＶ」です。理由は、エネルギー保存則です。そしてこれが基本です。ここは良いですか？。ここが重要です。

　次にＲＣ回路です。コンデンサの充電が終われば、コンデンサは(1/2)ＱＶの静電エネルギーを持ち、充電過程で抵抗Ｒも「(1/2)ＱＶ」のエネルギーを消費します。エネルギー保存則から電池は、「(1/2)ＱＶ＋(1/2)ＱＶ＝ＱＶ」の仕事をした事になります。


(2)数学モデルと現実との対応
　ところが充電過程で抵抗Ｒが消費したエネルギー「(1/2)ＱＶ」は、抵抗値Ｒに依存しません。という事は、回路の抵抗Ｒがいかに小さかろうと、現実には常に(1/2)ＱＶの無駄が生じると覚悟しなければなりません。#1さんが仰るように、Ｒ→0の極限においてさえそうです。しかしＲ→0の極限におけるRC回路とは現実には、Ｃ回路です。

　つまり数学モデルとしてのＣ回路と、現実のＣ回路とでは、「挙動が違う」のですよ。現実のＣ回路に対応するのは、常にＲＣ回路の方です。

　話がこれだけなら、まだましなのですが、高校物理でもＣＣ回路を扱いますよね？。じつはこのＣＣ回路の抵抗Ｒ＝0の意味は、数学モデルとしてのＣ回路のＲ＝0と同じです。要するに高校物理のＣＣ回路は、コンデンサー間で(1/2)ＱＶの静電エネルギーを、「エネルギーロスなしに」やり取りする数学的な理想回路なんです。回路抵抗Ｒによる(1/2)ＱＶのエネルギー消費は考えていません。何故このような数学モデルを採用したかというと、ＣＣ回路では電流が単振動するという綺麗な結果を述べたかった、ただそれだけなんですよ、きっと・・・。

　現実に電流が近似的に単振動するようなＣＣ回路は作成可能で、それは物理的に重要な結果を導いたものではあったのですが、教科書におけるこの不親切さ（説明不足）は、ちょっとひどいなと思います。


(3)現実に即した数学モデル
　ところがところが、です。自分は実際に確認した事はないのですが、#2の仰った、

＞間違いです。導体の抵抗が小さければジュール熱は非常に小さく普通は無視します。

はたぶん本当でしょう。ＲＣ回路における、Ｒ→0の極限もじつは数学的理想化であった事に、ここで初めて気づきます。

　ある程度小さなＲまではＲＣ回路が妥当だが、十分小さなＲを持つＲＣ回路は、数学的なＣ回路をモデルとする方が良好な近似を与える、という事です。そうでなければ、電流が近似的に単振動するようなＣＣ回路は、現実に作成可能ではありません。

　ここで再び数学的なＣ回路は復活し、電池のした仕事は近似的に、「(1/2)ＱＶ」という事になります。


　以上のような話を物理教師に突っ込むと、「そこを考えるのが勉強だ」といった類の応えが返って来そうですが、自分は不親切極まりないと思っています。


　頭は良いくせにクソ真面目とか、要領の悪い連中が、こういうところにハマって損してる気がするからです。こんな事で悩むなんて、馬鹿らしいですよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

すみません、ちょっと回答が専門的で理解が難しいところがありました。。（頑張って調べながら読んだのですが・・・）

とりあえず理論上で成り立つ数学モデルと現実のモデルとの間には差があるということですね。

しかし（3）の話はよくわかりませんでした・・・。
＞＞ここで再び数学的なＣ回路は復活し、電池のした仕事は近似的に、「(1/2)ＱＶ」という事になります。

では結局電池がする仕事は(1/2)ＱＶなのでしょうか？？？

お礼日時：2013/07/24 12:04

No.2 回答者： mandegansu 回答日時： 2013/07/22 07:52

＞電気容量C（F)のコンデンサーを電位差V(V)の電池につないでQ(C）の電気量をコンデンサーに蓄えたとき、電池がする仕事はW＝QV、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーはその半分の(1/2)QVになる。

残りの半分は導線の抵抗によるジュール熱の発生に使われている。と習いました。

間違いです。導体の抵抗が小さければジュール熱は非常に小さく普通は無視します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
え、そうなんですか？？ではエネルギーはどこで消費されるのでしょうか・・・？

お礼日時：2013/07/22 08:53

No.1 回答者： tadys 回答日時： 2013/07/21 04:10

＞なぜほとんど抵抗がないように作られているはずの導線を通しているのに半分もエネルギーが失われてしまうのか直感的に理解できません。

ほとんどないと言ってもゼロでは有りませんから。

＞もし、抵抗が全くない導線（超伝導など？）を使ったらどうなるのでしょうか？
もし、本当に抵抗が無いのであれば、コンデンサには無限大の電流が流れてコンデンサは瞬時に充電されてしまいます。
この時、「ゼロの抵抗×無限大の電流＝有限の電力」という形になります。
数学的には無限大を取り扱えないので、有限の抵抗→ゼロの抵抗と言う変化の極限を計算する事になります。
抵抗が大きい時は抵抗に流れる電流は少ないのですがその分時間がかかります。
抵抗が小さい時は抵抗に流れる電流は多いのですがその分時間が短くなります。
つまり、抵抗値によって抵抗での消費電力は異なりますがトータルした電力量（W・秒＝ジュール）は抵抗値に関係なく同じになります。

さらに言えば、抵抗がゼロであっても長さが有る電線にはインダクタンスが付随しますからCR回路では無くてLC回路として考える必要が有ります。
この場合はコンデンサに流れる電流はインダクタンスにより制限されるので無限大の問題は発生しません。
この時、コンデンサが電池の電圧まで充電されてもインダクタンスの電流はゼロでは無いので引き続き充電が継続します。
そして、コンデンサの電圧が電池電圧の2倍になった時に充電が終了しますが、今度はコンデンサから電池に電流が逆流を開始します。
この逆流はコンデンサの電圧がゼロになるまで続きます。
ゼロになると最初に戻って同じことの繰り返しになります。
この場合はコンデンサとインダクタンスの間でエネルギーのやり取りをするのでエネルギーのロスは生じません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、「一定の電流が流れている」ということは抵抗がなくては実現しないことだったんですね。言われてみればその通りです^^

後半のインダクタンスとコンデンサーの話はまだ習っていないのでよくわかりませんでした(*_*;
参考書などで調べてみようと思います。

お礼日時：2013/07/21 09:35