受験数学　積分の問題の説明お願いします。

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質問者：manami8
質問日時：2013/10/05 19:15
回答数：5件

積分の表記があっているのか分からないのですが、ご了承ください。

∫[-1,1]f(x)dx ←積分区間-1から1です。
=∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
=2∫[0,1](x^2+q)dx

ここの変形がよく分かりません。

∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx

だと思ったのですが、正答で何がされたのかが分かりません。

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回答 (5件)

No.5

回答者： alice_44
回答日時：2013/10/06 00:01

A No.1 と A No.4 の内容に

何の差があるのかも、解らん。

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No.4ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2013/10/05 21:41

>=∫[-1,1](x^2-4x+p)dx

ここで被積分関数を偶関数部と奇関数部に分けます。
=∫[-1,1]((x^2+p)+(-4x))dx
=∫[-1,1](x^2+p)dx+∫[-1,1](-4x)dx
偶関数の対称区間[-1,1]での積分は半区間[0,1]の積分の2倍になり
奇関数の対称区間[-1,1]での積分は半区間[-1,0]と[0,1]での積分が±打ち消してゼロになるので

=2∫[0,1](x^2+p)dx+0

>=2∫[0,1](x^2+q)dx
正答のqは間違いで次式のようにpが正しいです。

=2∫[0,1](x^2+p)dx

質問者さんの
>∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
>=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx
は間違いです。
なぜなら
被積分関数の奇関数部の積分を半区間[-1,0]と[0,1]に分けると
∫[-1,1](-4x)dx=∫[-1,0](-4x)dx+∫[0,1](-4x)dx
=[-2x^2][-1,0]+[-2x^2][0,1]
={0-(-2*(-1)^2)}+{(-2*1^2)-0}= 2 + (-2) = 0
と前半区間の積分と後半区間の積分が±打ち消して0になります。
なので
偶関数部の積分だけが残り、半区間[0,1]の積分の2倍になります。

>=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx
これを書き換えると
=2∫[0,1](x^2+p)dx +2∫[0,1](-4x)dx
となって
奇関数部の対称区間[-1,1]の積分が正側の半区間[0,1]の2倍となるといった勘違いをしてしまっているのです。
負側の半区間[-1,0]の積分と正側の半区間[0,1]の積分が符号反対でプラスマイナス打ち消して和（=対称区間の積分）はゼロになるはずです。