1オクターブはなぜ12半音なのですか

Question

音楽に関して色々疑問がでてきたので質問するに至ります。

ドレミファソラシドという音階が昔からあり、周波数の測定ができるようになってから
黒鍵が追加された、ということが調べてわかったのですが

どうして12半音になったのかが理解できません。
ドレミファソラシド(２　２　１　２　２　２　１)のミとファ、シとドの間隔に合わせて黒鍵を追加した、ということでしょうか

調べているうちに半音につき２の１２乗根（≒1.05946309436）倍，周波数が高くなっている、だとか
オクターブ上がるということは周波数が倍になっているだとかがでてきてしまって

こんがらがってしまいました。

A110Hzから(1.05946309436)をかけていったところ

220.0000000017562Hz、440.000000007025Hz と端数がでてきてしまいさらにわけがわからなくなりました。

こんな文章で伝わるでしょうか・・・
できれば色々こんがらがってしまっているので簡単に説明していただけると助かります。

もし回答ですら理解できないようであれば1から楽典の勉強を始めようと思っています。

Tann3 · Accepted Answer

No.2です。
　「お礼」に書かれたことについて。ちょっと長くなりますが。

＞ピタゴラス音律の解説にでてきたセントというのはチューナーなどで使われているセントと同一のものなのでしょうか。

→　そうです。「セント」は、半音の１／１００ということです。
　振動数比で１００等分ということで、半音が「２の１２乗根」というのと同じで、「２の1200乗根」ということになります。

一見難しそうですが、振動数はすべて「掛け算」の処理になるので、そういうことになり、特に高度な数学は必要ありません。
　半音高いとは、元の音を「ド」として、

半音上（ド♯）の振動数　＝　元の「ド」の振動数　×　「２の１２乗根」

ということです。さらにその半音上（レ）は、

「レ」の振動数　＝　（元の「ド」の振動数　×　「２の１２乗根」）　×　「２の１２乗根」

さらにその半音上（ミ♭）は、

「ミ♭」の振動数　＝　（元の「ド」の振動数　×　「２の１２乗根」　×　「２の１２乗根」）　×　「２の１２乗根」

ということです。オクターブ高い「ド」の音は、半音１２個分上なので、

高い「ド」の振動数
　　　＝元の「ド」振動数　×　『　「２の１２乗根」を１２回掛ける　』
　　　＝元の「ド」振動数　×　『　「２の１２乗根」の１２乗　』
　　　＝元の「ド」振動数　×　２

ということです。

ご質問の中に、「周波数の測定ができるようになってから黒鍵が追加された」とありましたが、これは間違いです。
　周波数（振動数）の測定ができるようになったのは19世紀末ぐらいからでしょう。ベートーヴェンの時代などには、音の周波数など測定する方法はなかったと思います。

ではどうやって、音の高さを調べたかというと、「弦の長さ」です。ヴァイオリンやギターを見ればわかるように、音の高さと弦の長さは直接関係します。「振動数」と「波長」はちょうど逆数の関係になるからです。
　弦の長さが半分になると振動数は2倍（１オクターブ上）、弦の長さが１／４になると振動数は４倍（２オクターブ上）になります。
　弦の長さが２／３だと、「五度」（ド－ソ）で、振動数は１．５倍です。
　弦の長さが整数比だと、良い響きのハーモニーになる、ということが経験的に分かっていたわけです。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

ついでに書いておくと、No.4の回答で、「ピタゴラスでは12半音には決まりません」と書かれていますが、「正確には決まらないが、おおよそ決まる」ということです。

No.2にも書きましたが、ピタゴラスは『数学的・物理的に音を決めて行ったら、ほぼ「1オクターブが12半音」になった』ということで、あくまで「ほぼ」です。人間の耳は、実はその程度の差はごまかしがきくのです。

「音律」については、
http://www.ne.jp/asahi/voce/home/index.htm
のサイトの左の見出しから
　　「注目!!・調律法（必見!!)」
というところを開いてみてください。この「豆知識　別冊１【さまざまな音律と調律法について】」のページが、数字や数式を使わずに、とても分かりやすく説明していると思います。

そこにも書いてありますが、ピタゴラスでは、「純正五度」（振動数比で１．５倍、弦の長さで２：３）で「ド→ソ→レ→・・・」音を決めていきますが、最後にどうしても純正五度にならない音程が生じます。これを「ピタゴラスのコンマ」と言い、最後の純正五度にならない音程を「ウルフトーン（またはヴォルフトーン：ドイツ語）」と呼びます（オオカミのうなり声、という訳です）。
　上記のサイトの「ピタゴラス音律」の図では、「C♯」と「Ａ♭（＝Ｇ♯）」の音程を「ヴォルフトーン」にしています。

この「ヴォルフトーン」を音程をどう処理するか、あるいは少しずつ分散させて特定の「ヴォルフトーン」が生じないようにする、といった工夫が「音律」の問題なのです。

ちなみに、平均律では、「五度」（「ド」と「ソ」）の振動数比は、１．５ではなく、

『「２の１２乗根」の7乗　』＝1.49830707687668・・・

となっています（質問者さんのご存知の「セント」を使うと、「－２セント」＝半音の２／１００だけ小さい）。ひとつひとつの「五度」を「純正五度」からほんの少しずつ狭くすることで、特定の「ヴォルフトーン」ができないようにしているのです。これによって、ピアノなどの鍵盤楽器の「五度」は、純粋な響きの「純正五度」ではなく、ほんの少し「うなり」を生じる五度になってしまいますが、実用上は問題ないと妥協して使っているのです。

バッハの時代に使われた「キルンベルガーの第３調律法」や「ヴェルクマイスターの調律法」も、どこで妥協して耳をごまかすか、ということの違いです。

ピアノなどの鍵盤楽器は、音の高さが固定されてしまうので、こういった音律の問題が生じます。
　ヴァイオリンなどの弦楽器や、笛、ラッパなどの管楽器、そして人の声は、微妙に音程が変えられますので、演奏者の耳で、こういった微妙な音程の調整をしながら演奏しています。オーケストラや弦楽四重奏、コーラスなどの美しい響きは、「平均律」ではなく「純正律」で生み出されているのです。

ちょっと込み入った話になってしまいましたが、質問者さんが、「どうして12半音になったのかが理解できません」と疑問を持った瞬間から、この「迷路」に入り込んでしまった、ということです。

hitokotonusi · Answer

おおよそでいいならそもそもピタゴラスがどうのとかいわずに，質問者さんが書かれているようにおおよそ全音のまん中でいいでしょ。実際そうだと思いますし。

ピタゴラス音階が使われていたといわれるグレゴリウス聖歌のころはそもそも単旋律なのでウルフなんて関係ないんですよ。そこですでに半音が出てきてる。そしてグレゴリウス聖歌ででてくる半音は，下降のときのシｂと，導音につく＃に限定されていて，理屈上出てくるものはなんでも使うというわけじゃないんで，理屈からというよりは聞いて感覚的に好ましいと思われるものが使われたという方が適当じゃないんでしょうかね。

あと，『人間の耳は、実はその程度の差はごまかしがき』かないので，無数とも言える音律が考案されてるわけです。

hitokotonusi · Answer

＞私はオクターブを12等分する、というのは全ての間隔(例えばCとC#、EとF)が同じだと思っているのですが

12等分平均律ならそのとおりですよ。対数でオクターブを均等に割っています。ただ，平均律が実用化されるまでの鍵盤楽器は不等分律です。(バッハの平均律は誤訳が定着したもの。)平均律が実際に広く使われるようになるのはドビュッシーあたりまで時代は下がるといわれています。19世紀も終りごろですね。

＞数学がとても苦手なので数学から勉強する必要があるでしょうか・・・

べき乗と対数さえわかっていれば，特に数学というほどのものはいらないですね。音律に深く踏み込みたいというのでなければそれすらいらないかも知れませんが。

hitokotonusi · Answer

どうしようかと思ったけど、いちおう一言。ピタゴラスでは12半音には決まりません。
その証拠に、引用されたwikipediaのページを見てもわかるように平均律なら同じ音(エンハーモニック)のはずのG#とAbで周波数が違います。もう少し両側に広げれば全部の半音が出てきますが、どれもこれも#と♭で周波数が違うので12ではおさまりません。のみならず、さらに広げれば微分音まで出てきてしまう。
この中から12の音を選び出すには別の理屈が必要です。

ピタゴラスに限らず、バロック以前に使われた音律には全てこの共通した#とbで音程が違うという困難があって半音(つまり今のピアノの黒鍵の音。当時は白鍵)の音程が決まらないので、その日のプログラムに合わせて音程を選択するというような使われ方をしていたようです。しまいにはヘンデルのようなマニアが現れて、白鍵(今のピアノの黒鍵)を二つに割ったハープシコードを製作させるということまでやっています。

半音(今のピアノの黒鍵の音)が一つですむようになったのは、バロック時代の後期にウェル・テンペラメントという種類の調律法が実用化されて以降の話で、バッハの有名な二巻の平均律クラヴィーア曲集は、このウェル・テンペラメントの効果を示すために書かれたともいわれています。真の意味でオクターブが12音(12の周波数)で構成されるようになったのはこのあたりがはじまりです。そうではなく、単に半音が導入された始まりという意味であれば、ANo.1のとおりグレゴリウス聖歌まで遡ります。

bgm38489 · Answer

１オクターブ上がるごとに、周波数が２倍になることは、みなさんが説明してますが、これを１２分割するということは、１オクターブの間の音を分割する、人間の能力の限界が１２が限度なみたいです。同じ質問がありました。今述べたのは、もっとも単純な理由ですが、他にも理由はあるみたいなので、ご参照あれ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10106941140

Tann3 · Answer

オクターブ上がるのが「振動数（＝周波数）が２倍になる」ということです。

「A110Hzから(1.05946309436)をかけていったところ
220.0000000017562Hz、440.000000007025Hz と端数がでてきてしまい」

というのは、単なる計算誤差で、２の１２乗根が「約1.05946309436」ということによるだけで、「1.05946309436・・・・・」とさらに桁数を増やして計算すれば、「220」「440」にもっと近づきます。
　１オクターブ（振動数が２倍）を対数的に１２等分するので「２の１２乗根」です。（下に書いた「音律」の観点では、これを「平均律」と呼びます）

世界には、１オクターブを何個に分けるかで、いろいろな音階があります。日本の伝統音楽の音階は、長調だと「ドレミソラド」（田舎節）、短調だと「ラシドミファラ」（都会節）で、「五音音階」と呼ばれますね。
　今の「ドレミファソラシド」や「1オクターブが12半音に分けられている」のは、ヨーロッパの音階がそうなっていて、それば世界中に広がったというだけのことです。

ヨーロッパで、何故そういう音階になったか、というのは、ここだけでは書ききれませんので、「音律」というキーワードで調べてみてください。（実は、ヨーロッパの音律も、ぴったり割り切れる数字にはならないので、いろいろとごまかし・妥協の結果そうなっている、ということなのですが。それは追い追い調べて行って下さい）

「音律」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%B3%E5%BE%8B

「ピタゴラス音律」：これが、数学的・物理的に音を決めて行ったら、ほぼ「1オクターブが12半音」になった理由です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E9%9F%B3%E5%BE%8B

hitokotonusi · Answer

＞ドレミファソラシドという音階が昔からあり、周波数の測定ができるようになってから
＞黒鍵が追加された、ということが調べてわかったのですが

多分，これがそもそも間違ってます。そして，黒鍵，つまり鍵盤楽器がどうのこうのというはるか昔から半音はあります。

それに周波数測定が可能になったのっていつごろのことでしょうね・・・多分19世紀じゃないですか。鍵盤楽器はもっと古くからありますよね。

曲の終わりの音がシードのように半音になっていると，いかにも終ったという感じになります。昔の音階は主音が必ずしもドではなかったのでその一つ下の音が必ず半音とは限らず，その場合には主音の一つ下の音を半音上げて歌うというようなことが行われていたようです。おそらくこれが半音の始まりです。グレゴリオ聖歌とかそういう時代の話なので，鍵盤楽器もろくに発達していないし，周波数測定なんてとんでもないというころです。

半可通なので，間違ってたらごめんなさい。

＞220.0000000017562Hz、440.000000007025Hz と端数がでてきてしまいさらにわけがわからなくなりました。

これは計算機の演算精度を逸脱しているからで，丸め誤差といわれるものです。
有効な数字ではないので切り捨てましょう。

1オクターブはなぜ12半音なのですか

No.2です。

おおよそでいいならそもそもピタゴラスがどうのとかいわずに，質問者さんが書かれているようにおおよそ全音のまん中でいいでしょ。

＞私はオクターブを12等分する、というのは全ての間隔(例えばCとC#、EとF)が同じだと思っているのですが

どうしようかと思ったけど、いちおう一言。

この回答への補足

１オクターブ上がるごとに、周波数が２倍になることは、みなさんが説明してますが、これを１２分割するということは、１オクターブの間の音を分割する、人間の能力の限界が１２が限度なみたいです。

オクターブ上がるのが「振動数（＝周波数）が２倍になる」ということです。

＞ドレミファソラシドという音階が昔からあり、周波数の測定ができるようになってから

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　No.2です。

　オクターブ上がるのが「振動数（＝周波数）が２倍になる」ということです。