sI-Aは正則か

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(4.3)式
sX=AX+BU
(sI-A)X=BU
X=(sI-A)^(-1)BUと求めてますが
sI-Aは逆行列を当然もつものとして扱ってます
sI-Aはかならず正則なんでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2014/03/15 07:46

sI-Aが正則であるようなsが存在することがいえればよい

Schur分解によって
適当な正則行列Pと上三角行列△により
△=P^-1APとできる
すると
|sI-A|=|P^-1||(sI-A)||P|=|P^-1(sI-A)P|=|sI-P^-1AP|=|sI-△|
従ってAの固有値のうち絶対値最大のものをλとすると
s>|λ|に設定すると|sI-A|≠0である

この回答へのお礼

よく考えたら
(sI-A)^(-1)=
adj(sI-A)/det(sI-A)で
det(sI-A)は固有多項式そのものなので
sが固有値だと正則じゃないですね
ありがとうございました

お礼日時：2014/03/15 13:44

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/03/15 09:13

Sの全ての値で正則である必要はないのです。

ラプラス変換では、Sの値によって式が発散してしまう点を極と呼びますが
この位置や形が逆変換の形をきめます。
非正則なところがないと困るのです。

この回答へのお礼

そういえばadj(sI-A)/det(sI-A)の
分母=0を極というのを思い出しました
ありがとうございました

お礼日時：2014/03/15 14:00