分母を有理化する意義について

√を含む数の分母は有理化する習慣がありますが、その方が近似値が正確に反映するという話を耳にしたのですが、確認がとれません。有効数字の計算の過程で無理数の近似値で除算すると不正確になってしまうということなのでしょうか。また、具体的には、どういう過程で不正確化してしまうのでしょうか。どなかたか分かる方は教えて下さい。よろしくお願いします。

No.4 回答者： imai20000 回答日時： 2004/05/27 13:21

難しいことをお考えにならなくとも、次の２つの計算を眺めて、どちらを選択しますか？

１/√２＝１/１.４１４＝０.７０・・・

１/√２＝√２/２＝１.４１４/２＝０.７０７・・・

No.3 回答者： circuit_breaker 回答日時： 2004/05/27 06:50

分母の有理化が常に効果的とは思えません。

そういう一例を掲げてみます。
y=√(1+x)-1と言う計算があったとします。
この式の分母は１、有理化されていると捉えてください。xが１より十分小さいとき、近似値がy=x/2である事は視察により明らかです。しかし、式通りの素直な演算手続きによれば、小さいxに関し有効数字の目減りは激しいものとなります。（xの指数部しだいで有効桁数が変化します）

一方でこの式に、√(1+x)+1を掛け、同時に割ると、
y=x/(√(1+x)+1)　という形が得られます。
この式は、分母に√を含んでいます。しかし、どんな小さいxに関する計算結果にも有効数字の目減りはありません。

後の式が、まずあったとします、分母の有理化を図って、前の式のように変形すると、むしろ逆効果だと言う事です。有効数字（仮数部）の桁数目減りにおいて着目すべきは、むしろ「減算過程」かと思いますが、如何でしょう。

No.2 回答者： KENZOU 回答日時： 2004/05/26 19:28

例えば２／（１－√２）の計算は分母を有理化して

２(１＋√２)／(１－√２)(１＋√２)＝－２(１＋√２)としますね。無理数というのはご承知のように無限小数（小数点以下無限に数字が続く）ですから、
(1)無理数を分母にそのまま置いておくと無限に長い数値で分子を割らねばならず、割算が正確に出来ないということになりますね。どこかでで切り捨てて有限小数の状態に持ってこないとうまくいかない。そうすると誤差を生じてしまう。
(2)しかし分母を有理化して分子に無理数を持ってくると、割算は可能となり、精度は分子の無理数をどこで切り捨てるかによります。これとて誤差を生じますが、(1)のケースより誤差が小さくできるということだと思います。ちなみに1／√2を計算すると√2≒1.41421356で打ち切って
Ａ＝1/√2＝0.7071067824
Ｂ＝√2/2＝0.7071067800
となりＢの方が数値が締まっていますね。

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2004/05/26 18:58

分母を有理化してから√を含む分子の計算をすると原理的には

何十万桁でも正しい答えが出せます。
ところが分母の有利化をしないで割り算をするには使える分母の√の桁数に限界が出ます。
この限界は答えの誤差となって現れます。