数列の問題です。解説お願いします。

数列{an}がa1=1/3,a(n+1)=1/(3-2an) (n=1,2,3,…)で定められている。

一般項anを予想し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

数学的帰納法が苦手で手が付きません。解説お願いします。

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2015/02/22 09:14

a1=1/3, a2=3/7, a3=7/15, a4=15/31, a5=31/63 あたりから、

an＝(2^n-1)/{2^(n+1)-1}が予想されます。つまり分子が2のn乗から1を引いた数、分母は2の(n+1)乗から1を引いた数。

数学的帰納法は(1)＆(2)の合わせ技で証明しますね。
(1)n=1のとき成立する。
(2)n=kの時成立するとすれば、n=k+1の時も成立する。

(1)は問題ないでしょう。(2)ですが、n=kの時成立するとすれば、an＝(2^k-1)/{2^(k+1)-1}となりますが、次の項a(k+1)は{2^(k+1)-1}/{(2^(k+1+1)-1}とも書けます・・・(1")。また、最初の数列の式により、a(k+1)は1/(3-2ak)とも書けます・・・(2")。後はあれこれ計算すると、(1")と(2")の両者は一致しますので、「故にan＝(2^n-1)/{2^(n+1)-1}です」となります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/02/20 00:30

「一般項anを予想し」って書いてあるよね. a2 とか a3 とか a4 とかを計算してみようとは思わなかった?