電流、電圧の瞬時値表示と複素数表示について

電流、電圧の瞬時値表示と複素数表示についての質問です。
例に電圧を用います。
電圧は瞬時値表示では、
v(t)=√2Vsin(ωt+θ)
複素表示では、
V=Vexp(jθ)
で表されます。
どのように2つの式は関係しているでしょうか。瞬時値表示の√2や複素表示では消えている時間tなどどのように導いているのでしょうか。わかる方、リンクの添付でも結構ですのでよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ベクトルVが実効値なのはなぜでしょうか。振幅そのままの√2Vではだめなのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/06/07 20:25

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/06/09 10:26

No.1の補足に書かれた

＞ベクトルVが実効値なのはなぜでしょうか。振幅そのままの√2Vではだめなのでしょうか？

　「V」は角周波数ωに依存しない「実効値」表現、「v(t)」は角周波数ωを含む「瞬時値」表現です。
　この両者の関係は、No.2さんのように「電気工学の約束ごと」と書いてしまうと身も蓋もないので、こんなサイトで一度「納得」しておいてください。
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/64/6433ji …

　要するに、「瞬時値」表現では、電圧や電流に常に「角周波数ω」が付きまといますので、これを直流のときと同じように「オームの法則：V=I*Z」で表現できるようにしたのが「複素数ベクトル」表現です（Zは、直流の「抵抗」に相当する「インピーダンス」）。「複素数ベクトル」表現では、電圧や電流は角周波数ωに依存しない「実効値」で表わします。

　なお、質問者さんの表記で、電圧や電流を「実効値」で扱うことで、

　　V=Vexp(jθ)

と書かれていますが、左辺と右辺の「V」は別物ですから、

　　V（交流）＝ |V| * exp(jθ)

と書いた方がよいですね。「V（交流）」は、通常「V」の上に「ドット」を付けて表わします。
　「exp(jθ)」と三角関数表現との関係は、No.1さんの回答のとおりです。

　ちなみに、この式の意味、この場合の「θ」の意味は分かりますか？
　「θ」は、「電流」を基準にしたときの「電圧」の「位相」（「電流」と「電圧」の sin 波のズレ角度）ということです。つまり、この「V（交流）」は、電流の sin 波に対して、電圧はこの「θ」だけズレた sin 波である、ということです。

この回答へのお礼

詳しく説明いただきありがとうございます。リンク先のサイトも大変わかりやすかっです(^^)

お礼日時：2015/06/09 22:54

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/06/08 04:07

>どのように2つの式は関係しているでしょうか

Vとθを取り出して複素数にしているだけですね。

電圧を実効値にするのは、それが実用的だから。

No.2 回答者： fuefuki-douji 回答日時： 2015/06/07 21:29

ベクトルＶの大きさを、最大値ではなく、実効値とするのは電気工学の約束ごとなのです。

瞬時値に直すときは、正弦波交流では√2倍して最大値にします。

No.1 回答者： fuefuki-douji 回答日時： 2015/06/07 19:44

これを理解するには、オイラーの公式を知る必要があります。

これは、指数関数と三角関数を結び付けたもので、結論だけ示すと
e^jθ＝cosθ＋ｊsinθ・・・①
である、というものです。
v(t)=√2Vsin(ωt+θ)・・・②
において、ωｔの位置を基準とすると、位相差はθになります。
また、ベクトルＶは実効値で表されるので
ベクトルＶの大きさは√２Ｖ/√２＝Ｖ
したがって
ベクトルＶ＝Ｖ∠θ＝Ｖ（cosθ＋ｊsinθ）・・・③
ここで①より
③＝Ｖ（cosθ＋ｊsinθ）＝Ｖ・e^jθ
となります。

この回答へのお礼

詳しく解説いただきありがとうございます。

お礼日時：2015/06/09 22:52