漸化式

解答お願いします
数列anは漸化式
(n+5)a(n+1)-(2n+8)an+(n+3)a(n-1)=0
(n≧2)
(1)
bn=a(n+1)-anとおくと
bnをb(n-1)で表せ
(2)
a1=1/5.a2=1/3のときanを求めよ
答えan=n/n+3
(3)
(2) で求めたanに対してlim[n→∞](an)^nを求めよ
答え1/e^4
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/06/26 16:22

（１）はふつうに解けばよいでしょう。

質問者さんも、ここは解けていますよね？

　　(n+5) * a(n+1) - (2n+8) * an + (n+3) * a(n-1) = 0
　　　(n ≧ 2)

で　bn = a(n+1) - an　とおいて、

　　(n+5) * a(n+1) - [(n+5) + (n+3)] * an + (n+3) * a(n-1) = 0

から

　　(n+5) * bn - (n+3) * b(n-1) = 0

よって、

　　bn = [(n+3)/(n+5)] * b(n-1) 　　（Ａ）


（２）に進みます。
　質問文中の解答 an = n/(n+3) は変ですよ。　←多分この式ですよね？　an = (n/n) + 3 = 4 はあり得ないので。

an=n/(n+3) であれば

　a3 = 3/(3+3) = 1/2

従って、定義から

　b2 = a3 - a2 = 1/2 - 1/3 = 1/3

となるですが、（Ａ）を使うと

　b1 = 1/3 - 1/5 = 2/15

　b2 = (5/7) * b1
　　 = 2/21

と合いませんよ！

　ということで、（２）をきちんと解いてみます。


（２ー１）まず、（Ａ）から、bn の一般式を求めましょう。

　　bn=(n+3)/(n+5)＊b(n-1)

をず～っと b2 まで展開すれば、

　　bn= [(n+3)(n+2)*･･･*5/(n+5)(n+4)*･･･*7]＊b1
　　　= [6*5/(n+5)(n+4)]＊b1

となります。 b1= 1/3 - 1/5 = 2/15 ですから

　　bn= [6*5/(n+5)(n+4)]＊(2/15)
　　　= 4/(n+5)(n+4)　　　　　　　　（Ｂ）

となります。

（２ー２）次に、これから an の一般式を求めましょう。
　（Ｂ）を定義通り an に書き直すと

　　a(n+1) = an + 4/(n+5)(n+4)

　一般式として、 an で表わしたいので、(n+1)→n に書き直して、

　　an = a(n-1) + 4/(n+4)(n+3)

　これをどんどん a3 まで展開すれば、

　　an = a2 + 4* [1/(n+4)(n+3) + 1/(n+3)(n+2) + ･･･ + 1/(7*6)]
　　　 = a2 + 4*(n-2)/[(n+4)*6]　　←ここまでの変形は省略
　　　 = a2 + (2/3)*(n-2)/(n+4)

になります。a2 = 1/3 なので

　　an = 1/3 + (2/3)*(n-2)/(n+4)
　　　 = [ n+4 +2n-4 ] /[(n+4)*3]
　　　 = n/(n+4)　　　　　　　　　　（Ｃ）

　う～ん、質問中の解答と、ちょっとだけ違いますね。これで検算すると、

　　a3 = 3/7
　　b2 = a3 - a2
　　　 = 3/7 - 1/3
　　　 = 2/21

となって、（Ｂ）式で計算したものと一致します。

　つまり、（２）の答は（Ｃ）のようです。


（３）ついでにやってしまいましょう。
　（Ｃ）式から、n = 4*N とおいて、

　　lim[n→∞](an)^n
　 = lim[n→∞][n/(n+4)]^n
　 = lim[N→∞][4*N/(4*N+4)]^(4*N)
　 = lim[N→∞]{1/[1+(1/N)]}^(4*N)
　 = (1/e)^4

∵　lim[N→∞][1+(1/N)]^N = e （自然対数の底）

　こちらは、質問文中の解答と一致しますね。

この回答へのお礼

とても詳しく説明して頂きありがとうございました。とても理解できました

お礼日時：2015/06/26 16:37

No.1 回答者： モリシゲ 回答日時： 2015/06/25 21:27

(1)

(n+5){a(n+1)-an}-(n+3){an-a(n-1)}=0
(n+5)bn-(n+3)b(n-1)=0
bn=(n+3)/(n+5)＊b(n-1)

????