数学の解説をお願い致します‼︎

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No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/15 00:11

①

x、y はともに有理数である　⇒　x+y、xy はともに有理数である
x、y がともに有理数であるとき、
a、b、c、d を整数として、
x=b/a、y=d/c とおける。ただし、a≠0、c≠0、d≠0 である。　（d≠0 は y≠0 だから）
このとき、
x+y=b/a+d/c=(bc+ad)/ac
xy=b/a×d/c=bd/ac
ここで、bc+ad、ac、bd は整数であるから、
x+y、xy は有理数である。
命題は真だから十分条件である。

x+y、xy はともに有理数である　⇒　x、y はともに有理数である
x=√2、y=-√2 とすると、
x+y=√2+(-√2)=0
xy=√2×(-√2)=2
より、x+y、xy はともに有理数であるが、x、y はともに有理数でない。
命題は偽だから必要条件でない。

《 有理数は、整数を用いて分数の形で表されます。 》


②
x+y、xy はともに有理数である　⇒　x/y は有理数である
x=1+√2、y=1-√2 とすると、
x+y=(1+√2)+(1-√2)=0
xy=(1+√2)×(1-√2)=1-2=-1
より、x+y、xy はともに有理数であるが、
x/y=(1+√2)/(1-√2)=(1+√2)^2/(1-√2)(1+√2)=(1+2√2+2)/(1-2)=(3+2√2)/(-1)=-3-2√2
より、x/y は有理数でない。
命題は偽だから十分条件でない。

x/y は有理数である　⇒　x+y、xy はともに有理数である
x=2√2、y=√2 とすると、
x/y=2√2/√2=2
より、x/y は有理数であるが、
x+y=2√2+√2=3√2
より、x+y は有理数ではない。（x+y、xy はともに有理数であることに矛盾する）
命題は偽だから必要条件でない。


③
y=-x^2+4ax-3a^2-2a-3
=-(x^2-4ax)-3a^2-2a-3
=-{(x-2a)-4a^2}-3a^2-2a-3
=-(x-2a)^2+4a^2-3a^2-2a-3
=-(x-2a)^2+a^2-2a-3
したがって、Gの頂点の座標は (2a，a^2-2a-3)

《 この式変形の仕方はぜひ覚えて下さい。
頂点の座標や軸の方程式を求めたり、
最大値・最小値を求めたりするときに使うので。 》

また、Gが２点Ａ，Ｂで x 軸と交わるとき、
Ｇは上に凸の放物線だから、頂点の y 座標が正である。
よって、
a^2-2a-3>0　
(a+1)(a-3)>0
a<-1，3<a

《 判別式 Ｄ>0 を使ってもよいのですが、
頂点の座標を求めているので、それを使いました。 》

さらに、Gが２点Ａ，Ｂの x 座標は、
0=-x^2+4ax-3a^2-2a-3
x^2-4ax+3a^2+2a+3=0
x=[-(-4a)±√{(4a)^2-4･1･(3a^2+2a+3)}]/(2･1)
={4a±√(16a^2-12a^2-8a-12)}/2
={4a±√(4a^2-8a-12)}/2
={4a±2√(a^2-2a-3)}/2
=2a±√(a^2-2a-3)
したがって、線分ＡＢの長さは、
2a+√(a^2-2a-3)-{2a-√(a^2-2a-3)}
=2a+√(a^2-2a-3)-2a+√(a^2-2a-3)
=2√(a^2-2a-3)

《 x 軸上の点は、 y 座標が０だから、
y=-x^2+4ax-3a^2-2a-3 に y=0 を代入して、
２点Ａ，Ｂの x 座標を求めます。
ＡＢの長さは、 x 座標の大きい値から小さい値を引けばよいです。 》

線分ＡＢの長さが 2√5 のとき、
2√(a^2-2a-3)=2√5
これより、
a^2-2a-3=5
a^2-2a-8=0
(a+2)(a-4)=0
a=-2，4

《 ＡＢ=2√(a^2-2a-3)　と　ＡＢ=2√5　の式から
2√(a^2-2a-3)=2√5　の式がつくれます。 》

この回答へのお礼

ありがとうございます*\(^o^)/*

お礼日時：2015/09/15 07:13