全微分について

z=xyを全微分しなさい。という小問題が出たのですが、自分はdz=ydz+xdyと思ったのですが、友人は、zをxとyで一回ずつ微分したもの d^2z/dxdy=1だと言っているのですが、どっちが正しいのでしょうか？どっちも間違っているのでしょうか？

回答願います

No.6 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/10/10 09:29

注意：No5 で、同値なノルムはどうでもいいです、有限個の変数ですから。

No.5 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/10/10 09:23

全微分を記号でのみとか、変化とか、あいまいに定義するから、混乱が生じるんでしょう。

全微分もしくは微分を、線形写像として定義すれば、あいまいさはなくなります。

R^2の開集合Uにおいて、関数f:U->R に対し、
Uの元pにおけるfのfの全微分（微分）Df_pとは、
R^2からRへの線形写像であって、Uの任意の元xがpに収束する時、|f(x)-f(p)-Df_p(x-p)|/||x-p|| が0に収束するものをいう。（||・||はここではユークリッドノルム。同値なノルムなら別でもよい ）

全微分（微分）Df_pが存在すれば、線形写像Df_pは偏微分係数（格係数が偏微分であるスカラー）と一致する。

多変数関数の微分は、少なくとも位相や線形写像を理解してから、学ぶのが数学というものではないですか。

No.4 回答者： qexby 回答日時： 2015/10/08 08:56

z=xy を x で "微分する" と dz/dx=y+x(dy/dx) だと思います。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E3%81% …

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/07 16:31

ちょっと気になったので

>x=x(t), y=y(t)が与えられているとき

こういう関係を仮定するのは間違いです。
x, y がいかなる関係でも全微分は使えます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/07 16:22

全微分 dz というのは z が x と y の関数の場合

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy
従って、
dz=ydx + xdy

>d^2z/dxdy=1だと言っているのですが

常微分の記号で偏微分のようなことをしているみたいですが
∂^2z/∂x∂y = 1 は単なる２階の偏微分です。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/10/06 11:38

問題がおかしい。

「全微分する」という同氏は日本語にはない。「全微分を求めよ」ならあなたの答え（1か所間違いあり）が正しい。友達の答えは「x,y各々1回偏微分による2回偏微分係数」ともいうべきもので
∂^2z/∂x∂y=1
と書かねばならない。友達の答えは間違いだらけである。付き合わないほうがよい。

x=x(t), y=y(t)が与えられているとき

dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt)

偏微分に対して全微分ということがある。いずれ出てくるでしょう。