2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=b=0のみ。これは2と3に限った話なのか。

2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=b=0のみですがこれは2と3に限った話なのか。
それとも
A^a=B^bとおくと
4^a=5^b
2^a=4^b
などのようにA,Bは正の整数ならばなんでもいいのか。それともA,Bは互いに素など条件がありますか。

A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^a=B^bを満たす整数a,bはa=b=0のみ。
なのか
A,Bともに正の整数のときA^a=B^bを満たす整数a,bはa=b=0のみ。
なのか。どちらですか。

さらにA,Bは負の整数、0ではダメだと思っていますがこれは正しいでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 質問文がおかしいですね。
  2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=0,b=0と書かないとa=b=定数のようにa,bは等しくなければならないようにも見えますね。すみません。

    補足日時：2015/12/27 01:00

• A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。A,Bが負の整数、0のとき成り立たない。
  これでいいでしょうか。
  
  ABabが大文字、小文字の差異しかなく分かりづらいので直しました。

    補足日時：2015/12/27 01:36

• A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。
  
  これが成り立つか成り立たないがどなたか断言してほしいです…

    補足日時：2015/12/27 23:42

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2015/12/27 00:47

Ａ^a=Ｂ^b で、ＡとＢが互いに素でなければ、a=b=０以外が存在します。

例
2^2=4^1
6^2=3^4

81^a=64^b は、a=b=0 のみ

この回答へのお礼

すごいです。9分で回答いただけるなんて大変助かりました。

では
A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^a=B^bを満たす整数a,bはa=0,b=0のみ。
が成り立つのですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/27 00:56

No.11 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/28 10:13

No.9のお礼に関して

()内はおそらく
"AとBを素因数分解した場合、共通因子(指数部は考えない)以外のもの同士で互いに素の因子が存在する"

です。

No.10 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/28 08:44

No.8です。

2と3はNo.2とNo.3の回答のことでしょうか？
補足の互いに素の関係を私は答えたのですが。

この回答へのお礼

2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=b=0。

これの2と3です。数字です。

数字の2と3は互いに素ですから

A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。

は成り立つのではないかな。
と書いてしまいました。
分かりづらくてすみません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/28 09:03

No.9 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/28 07:56

もっと簡単に示しましょうA^c≡0(modA)で、Aで割り切れる。

しかしAとBが互いに素ならば、B^d≡0(modA)となることはない。(Aで割り切れない。)

剰余定理の最も基本の考え方。

この回答へのお礼

皆様の説明が高度で全くついていけていません。

2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=0,b=0のみ。
これは参考図書に示してあり確実に成り立ちます。


A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。

これが成り立つか知りたいのですが、皆様成り立つことを示していらっしゃるのか成り立たないことを示していらっしゃるのか理解できません。

すみませんが
説明の最後に

A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。が成り立つ。成り立たないと明記して下さい。

成り立たないと結論づける場合は
A,Bともに( )でかつA,Bは( )のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。

( )内に何が入るのか答えて下さい。

理解力が低く大変申し訳ないですが是非説明を理解したいのです。
よろしくお願いします。

お礼日時：2015/12/28 08:54

No.8 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/28 07:49

式変形すると、log_(B) A=d/cになるかどうか？ってことだよね。

log_(B) AはAとBが互いに素ならば有理数にならないため、成り立たないと言える。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
しかし2と3では成り立っています。何故なのかわかりません。

お礼日時：2015/12/28 08:40

No.7 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/27 18:40

修正

>少なくとも、a^n≠(ka±1)^nは成り立つ。(kは整数)

少なくとも、a^x≠(ka±1)^yは成り立つ。(kは整数)

No.6 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/27 18:39

剰余定理を用いると、

2^a≡0(mod2)
3^b≡1(mod2)
であることから、
2^a≠3^b

少なくとも、a^n≠(ka±1)^nは成り立つ。(kは整数)

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/27 09:39

>A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のとき

>A^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。

A=B=1 の時は例外

それと A=2、B=6 でも成立するので、逆は成り立たない

多分、必要十分条件は

1) 素因数が全て一致しないこと
2) 素因数が全て一致する場合、素因数が2個以上で
同じ素因数同士の次数の比が
全て一致しないこと。

この回答へのお礼

A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のとき⇒A^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。A=B=1 の時は例外
の十分条件は成り立つということですか。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/27 10:26

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/27 03:37

「素因数分解の一意性定理」という, 非常に基本的な定理があるのだよ.

この回答へのお礼

ありがとうございました。しかしご紹介の定理は今調べていますが分からない可能性が高そうです。

お礼日時：2015/12/27 03:40

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/27 01:34

要するに

m^a=n^b

なるm,n,a,bの関係を見出せばよい。

両辺の対数をとると

alogm=blogn

a/b=logn/logm

a,bが整数の時この関係を満たすケースの一つは

n=m^k

a/b=k ⇒　a=kb

つまり

m^a=m^(kb)=(m^k)^b

ｍの制限は小さい

例

m=3, b=2, k=3, a=kb=6

3^6=9^3

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。しかし私には高度すぎてあまり理解できませんでした。ごめんなさい。

お礼日時：2015/12/27 01:40