sin4nx≧sinx ･･････① （0≦x≦π/2, n：正の整数）

sin4nx≧sinx　･･････①　（0≦x≦π/2, n：正の整数）

①をみたすxの範囲を求めたいのですが、

x=0のとき、①をみたすので、xの区間を0＜x≦π/2として考える。

このとき、0＜4nx≦2nπ

これ以降どのように考えればよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tairachan1984 回答日時： 2016/01/22 14:17

①の状態で、単位円の状態を考えてみてはどうでしょうか。

x+2kπ≦4nx≦(π-x)＋2kπ　（kは整数）と範囲が得られ、これを式変形すると
2kπ/(4n-1)≦x≦(2k+1)π/(4n+1)となります。ここで0≦x≦π/2であるから、
kの範囲は、k=0,1,...,n-1となり、範囲が求まります。
　もしくは①の状態からsin4nx-sinx≧0で和積変形してみてはどうでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
単位円を使って考えたら分かりました。分かった気になっているだけかもしれませんので、また何かありましたら質問させていただきます。
今度は、和積公式を使って考えてみます。

お礼日時：2016/01/22 18:35

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2016/01/22 14:31

sin4nx≧sinx　･･････①　（0≦x≦π/2, n：正の整数）

sin4nx-sinx≧0

三角関数の和と差の公式

sinp-sinq=2cos[(p+q)/2]sin[(p-q)/2]

を使って

sin4nx-sinx＝2cos[(4n+1)x/2]sin[(4n-1)x/2]≧0

ゆえに

1）cos[(4n+1)x/2]≧0　かつ　sin[(4n-1)x/2]≧0　または

2）cos[(4n+1)x/2]≦0　かつ　sin[(4n-1)x/2]≦0

の場合がある。

1）-π/2+2mπ≦(4n+1)x/2≦π/2+2mπ　かつ　2mπ≦(4n-1)x/2≦2(m+1)π　　(mは整数）

すなわち

　(4m-1)π/(4n+1)≦x≦(4m+1)π/(4n+1)　①

かつ　

　4mπ/(4n-1)≦x≦4(m+1)π/(4n-1)　　　　②

0≦x≦π/2を満たすためには

　　0≦(4m-1)π/(4n+1)≦(4m+1)π/(4n+1)≦π/2　⇒　1≦m≦(4n-1)/8

　 0≦4mπ/(4n-1)≦4(m+1)π/(4n-1)≦π/2　⇒　0≦m≦(4n-3)/8　　　　　

これらを同時に満たすためには
　
　　1≦m≦(4n-3)/8　　　　　　　　　　　　③

このような整数mが存在するためには

　　n≧3　　　　　　　　　　　　　　　　　④

n=3　⇒ m=1 ①より　3π/13≦x≦5π/13、②より　4π/11≦x≦8π/11

　　　　　　　　　　⇒ 4π/11≦x≦5π/13

以下、このように順次解を求めればよい。

n=4　⇒ m=1

n=5 　⇒ m=1,2

n=6 　⇒ m=1,2

この回答へのお礼

ありがとうございます。
和積公式を使って解いてみたのですが、

1）-π/2+2mπ≦(4n+1)x/2≦π/2+2mπ　かつ　2mπ≦(4n-1)x/2≦2(m+1)π　　(mは整数）

すなわち

　(4m-1)π/(4n+1)≦x≦(4m+1)π/(4n+1)　①

かつ　

　4mπ/(4n-1)≦x≦4(m+1)π/(4n-1)　　　　②

の2mπ≦(4n-1)x/2≦2(m+1)πの部分は、2mπ≦(4n-1)x/2≦π+2mπで、変形して4mπ/(4n-1)≦x≦2(2m+1)π/(4n-1)のようになると考えました。どうでしょうか？

お礼日時：2016/01/22 19:43