スピンについて

下記HPを見たりして、量子力学を勉強中です。
http://eman-physics.net/quantum/g_factor.html

磁気モーメントMは、HPによりますと
M=μ０×e×ｈ×σ／２ｍ
です。
またエネルギーEは
E=－１／μ０×M・B
です。
左辺のエネルギーEは、スカラー　すなわち、１とか２とかの数字になるはずです。
それに対して、右辺はσが含まれており、２行２列の行列です。
左辺（スカラー）≠右辺（行列）
ではないでしょうか？
右辺は、どのような処理をすると、行列が消えて、スカラーになるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  B=(Bx,By,Bz）
  です。
  パウリ行列は、下記HPのように２行２列の行列です。
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A6 …
  
  具体的に、どのような計算をすれば、行列やベクトルが消えて、スカラーになるのでしょうか？
  １例を教えて下さると助かります。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/23 17:26

• 

  ご回答有難うございます。
  ＞だから磁気モーメント(の演算子)は
  ＞M=μehσ/2m
  ＞と対応させるのが良いだろう。
  すいません。よくわからないです。
  波動関数 φを考慮しないと、この式E=－１／μ０×M・Bだけでは、計算できないということでしょうか？
  シュテルン・ゲルラッハや他の実験で、上向きのスピンを持った電子だけを選んで、ｚ方向だけの磁場を作用させた場合、実験値Eが得られたとします。
  この場合、どのような波動関数を入れたら、数字としてEが具体的に得られるでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/24 09:19

• 

  ご回答有難うございます。
  ＞この演算子の固有状態に作用させると固有値として磁気モーメントM'(これはベクトル)が得られます。
  ＞Mκ=M'κ
  波動関数 φを考慮しないと、この式E=－１／μ０×M・Bだけでは、計算できないということでしょうか？
  シュテルン・ゲルラッハや他の実験で、上向きのスピンを持った電子だけを選んで、ｚ方向だけの磁場を作用させた場合、実験値Eが得られたとします。
  この場合、どのような波動関数を入れたら、数字としてEが具体的に得られるでしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/24 09:22

• 

  どのような計算をすれば、演算子、波動関数、行列やベクトルが消えて、スカラーになるのでしょうか？
  具体的な計算例を教えて下さると助かります。
  結局、磁気回転比μ０×e／２ｍなのですね。σの部分が１になる過程を知りたいです。

    補足日時：2016/01/24 09:30

• 

  完全独習　量子力学P104に載ってました。
  シュレディンガー方程式を解く方法でした。
  この方法以外にないでしょうか？

    補足日時：2016/01/24 13:35

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/01/25 10:37

#3の補足

質問者の見ているサイトの下側にある、太文字のσとはどんなものなのでしょうか。
太文字、ということはこれはベクトルです。ですのでこれをσ↑と書くことにします。
同様にM↑,B↑と表記します。
x,y,z方向の単位ベクトルをI,J,Kとすると
σ↑=σ1*I+σ2*J+σ3*K
となります。

E=-(1/μ)M↑・B↑

ですが、B↑はz方向に一様ですから
B↑=B_z*K
となります。

これを代入しますと
E=(-eh/(2m))*(σ1*I+σ2*J+σ3*K)・B_z*K=(-eh*B_z/(2m))σ3
となります。

もちろん、ここでのEは場とスピンの相互作用エネルギーを表す演算子(エネルギーの値そのものではない)であり、その固有値はエネルギーの次元をもつスカラーです。

s=1/2の電子においていは、σ3の固有状態はスピン上向きの状態|φ,↑>と下向きの状態|φ,↓>であり
σ3|φ,↑>=|φ,↑>
σ3|φ,↓>=-|φ,↓>
となります。

このとき、スピン上向きと下向きの場合の磁場との相互作用エネルギーの大きさはそれぞれ
E(スピン上向き)=<φ,↑|E|φ,↑>=<φ,↑|(-eh*B_z/(2m))|φ,↑>=-eh*B_z/(2m)
E(スピン下向き)=<φ,↓|E|φ,↓>=<φ,↓|(eh*B_z/(2m))|φ,↓>=eh*B_z/(2m)
となります。

この回答へのお礼

お返事有難う御座います。

σZ = {{1, 0}, {0, -1}}
の固有値が、１と-１になるから、スピン上向きと下向きの答えが得られるのですね。

お礼日時：2016/01/25 15:01

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/01/23 23:50

M=μ０×e×ｈ×σ／２ｍ

上記の式のMは磁気モーメントではありません。
これは磁気モーメント演算子です。
この演算子の固有状態に作用させると固有値として磁気モーメントM'(これはベクトル)が得られます。
Mκ=M'κ

気をつけないといけないのはσの行列とは実空間に作用する行列ではありません。
この行列は、固有状態が基底ベクトルとなるヒルベルト空間におけるベクトルに作用する作用素です。
作用の結果としてベクトルを返すため、通常の空間から見るとベクトルに見えます。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2016/01/23 22:28

お示しのHPの「結論」の部分が念頭にあると思っていいですかね。

>E=－１／μ０×M・B
>と表せることは前に説明した
とありますが、この「前」というのが具体的にどこなのか、すぐに見つからなかったので推測になってしまいますが、おそらく古典論での話をしているのではないかと思います。(もし違うようなら補足して頂ければと思います)

そうしますと、「結論」の部分での話の流れは

パウリ方程式の中にはハミルトニアンの中に
-ehσ/2m B
という項が現れた。
一方、古典論では磁場中の磁気モーメントのエネルギーは
>E=－１／μ０×M・B
となった。
だから磁気モーメント(の演算子)は
M=μehσ/2m
と対応させるのが良いだろう。

という形になるかと思います。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2016/01/23 16:23

M・Bは、ベクトルの内積ですから、スカラーになると思います。