波数の意味と波数ベクトル

確認したい事と質問があります。

波数ｋというのはある単位長さ当たりに存在する１周期分（１波長分）の波の数で合っていますでしょうか？数と言っても単純に「波が１０００個もある！」という意味ではなく、「ある単位長さ中に１個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか？
一般に波数ｋは波長λを使って、ｋ＝２π/λ、もしくはｋ＝１/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくｋ＝１/λを例に取ります。例えばλ１＝１００[ｍ]の波の波数はｋ１＝１/１００[m]となり、これは「１００ｍ中に１個の波がある」という意味であり、λ２＝２[ｍ]の波の波数はｋ２＝１/２[m]となり、「２ｍ中に１個の波がある」という意味で、いずれもｋ＜１なのはどれくらいの割合で波が１つあるのかという事を表してるのだと思っています。ｋ２は２[ｍ]中に１つの波があるので、仮にその波を１００[ｍ]にも渡って観察すれば、その中に５０個も波が存在する。一方、ｋ１は１００[ｍ]内に１個しか波が存在しない。よってｋ２の波の方が波の数が多い波である。以上が波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、合っているでしょうか？

また、（正否は分かりませんが）波数ｋを以上のように考えているのですが、波数ベクトルという概念の理解に行き詰まっています。個数であり、長さの逆数を取る量がベクトル量で向きを持つというイメージが掴めません。本にはｋｘ、ｋｙ、ｋｚと矢印だけはよく見かけるのですが、その矢印がどこを基準（始点）としてどこへ向いているのか（終点はどこなのか）が描かれていないので分かりません。波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか？一応、自分なりに描いてみたのですが下の図で合っているでしょうか？（１波長置きに存在するｙｚ平面に平行な面に直交するベクトルです）

私の波数の考えが合っているか、波数ベクトルが図のようで合っているかどうか、波数ベクトルとは何かをどなたか教えて欲しいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mazinnkenn 回答日時： 2013/11/06 09:29

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。

あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波（たとえ水面の波紋）はｚ＝Asin（ √(kx^2+ky^2) ）のようにｘ方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、ｘ方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt% …^2%2By^2%29%29
このとき、ｘ方向の波数は１、ｙ方向の波数も１、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K＝(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

さらに発展して考えたとき、ｘ方向とｙ方向の波数が違っていてもいいですよね（下のリンクのような)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt% …^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとｘ方向の波数は1、ｙ方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K＝(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長（λx,λy,λz）から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
なので波の始点や終点という概念はありません。
この波数ベクトルの利点は、たとえば現実空間で
y=sin(1*x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+・・・+sin((n-1)*x)+sin(n*x)
を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。

この回答へのお礼

図まで付けてくれて有難うございます。とても分かりやすかったです。

お礼日時：2013/11/09 20:32

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/11/04 18:39

＞波数ｋというのはある単位長さ当たりに存在する１周期分（１波長分）の波の数で合っていますでしょうか？

直感的な説明としてはいいのでは。
2πをかけて位相にすることが多いですが。

＞波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか？

古典波動の場合、波数ベクトルの向きは波面(同位相面)に垂直。
波数と波面法線ベクトルをまとめて一つのベクトルにしてしまうと扱いやすいという以上の意味はないんじゃないでしょうか？

量子力学的な粒子の場合はド・ブロイの関係式がありますので，波数は運動量に比例します。運動量はベクトル量なので波数もベクトルにしておいた方が自然で，その方向は粒子の運動方向(運動量の方向)。これで古典波動のアナロジーとして波数ベクトルが扱えるようになりますが，この場合，波面に垂直とかなんとかいうことは忘れてしまったほうがよいかと思います。量子の波動の波面てなんだ？ってことになってきますんで。

＞波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、

アボガドロ数は「数」なのに次元が1/mol，振動数も「数」なのに次元が1/s。
「単位量当たりの数」を縮めて「数」と呼ぶことにさほどこだわらなくてもいいのでは？

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/11/04 14:28

書き忘れてましたが、

波の進行方向の方向ベクトル を n=(a, b, c), a^2 + b^2 + c^2=1
とすると波数ベクトルは

k = -(2π/λ)n です。(λ: 波の波長)

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/11/04 10:56

簡単に言えば 波数は 単位長さあたりの波の位相変化量です。

位置の変化 (Δx, Δy, Δz) に対して「平面波」の位相変化量は

波数ベクトル k = (kx, ky, kz)とすると

-(kx・Δx + ky・Δy + kz・Δz)

となります。

なので、波の３次元での「平面波」の一般的な式は

sin(ωt-(kx・Δx + ky・Δy + kz・Δz) + δ)　(δ：初期位相)


つまり、平面波の位置の変化量の 波の進行方向成分に対する
位相変化量を表すのが波数ベクトルです。|k|=2π/λ になります。

kx は X軸を平面波の「山」が切る間隔、つまりX軸で測った波の波長　の逆数の2π倍　と
考えてもよいかもしれません。